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§9.4直线和平面垂直

一. 直线和平面垂直

二. 正射影和三垂线定理

三. 习题

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1. 观察实例：

相关概念: (1) 垂线

(2) 垂面

(3) 垂足

2. 直线与平面垂直的定义:

一. 直线和平面垂直

(一). 直线和平面垂直

如果一个条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.

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3. 唯一性:

(1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直.

(不同于过一点作直线与另一条直线垂直 )

(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .

(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .

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已知:

求证:

(二). 直线和平面垂直的判定定理

如果一个条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

强调:(1)两条相交直线;

(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.

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(三). 例题

求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条.

有一根旗杆AB高 8 m,它的顶端A挂有一条长 10 m的绳子 , 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上) C、D.如果这两点都和旗杆脚B的距离是 6 m, 那么旗杆就和地面垂足,为什么?

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如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,

求证:

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直线和平面垂直的性质定理及判定定理的应用

（一）复习提问：

1. 什么叫直线与平面垂直?

2. 如果判定一条直线和平面垂直?

如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面

那么另一条直线与这个平面有何关系?

4. 反过来能成立吗?

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(二) 直线与平面垂直的性质定理

性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,

那么这两条直线平行.

已知:

求证:

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（三）点与面、线与面的距离

点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂

足间的距离叫做这个点到这个面的距离.

直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任

意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离.

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（二）例题

1. 已知: 直线 ,垂足为A,直线

求证:

已知一条直线

求证: 直线 上各点到平面 的距离相等

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已知: 正方形ABCD的边长为 ，

求AD到平面PBC的距离.

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已知正方体 AC1 的棱长为 1 , 点M是 的中点,

N是 AB 上一点, 且

求 AN 的长.

N

M

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（一）射影的有关概念:

1. 点在平面上的射影: 自一点P向平面引垂线,垂

足叫做这点在平面上的射影.

二. 正射影和三垂线定理

(这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段)

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平面的斜线: 如果一条直线和平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的射线.

交点叫做射足.

斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.

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3. 斜线在平面上的射影:

过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线,叫做射线在这个平面上的射影.

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斜线段在平面上的射影: 垂足与斜足间的线段.

5. 斜线上任意一点在平面内的射影,一定在斜线的射影上.

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6. 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形 ,则 叫做图形F在这个平面上的射影.

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(二) 三垂线定理

1. 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果它和这个平面

的一条斜线的射影垂直,那么它也和这

条 直线垂直.

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2. 三垂线定理的逆定理:

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的垂直,那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.

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(三) 例题

1 . 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,

那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.

如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若A在PB、PC上的射影分别是E、F，

求证：EF⊥PB

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（一）复习提问：

1. 什么叫三垂线定理?

三. 习题

2. 什么叫三垂线定理的逆定理? 它们的区别是什么?

3. 如图，若

A为垂足，AO⊥CD于O ，则________,理由______

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已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中

直角三角形的个数有 ( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

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(二) 例题:

设O点是正三角形ABC的中心,线段PO垂直于

所在平面 ，OP = h，AB = a ， 求点P到

各边的距离。

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2. 如图,三条直线 ，若 b、c 距离为 2 ，

a、c 距离为 1 ，a、b 距离为 ，求 b 与 a、c

确定的平面 之间的距离.

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已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,

M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过 G 和ＡＰ作平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ，

　求证: AP // GH

O

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