所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。

点关于点对称

如P（x0，y0）关于点M（a，b）的对称点为P1(x,y)，则

【例1】：已知点A（1，2），点B(2,3) 求点A关于点B的对称点。

解：设点A关于点B的对称点为A1（x，y）

由 得

特例：点（a，b）关于原点的对称点为（－a，－b）

【变式】：点A(3，2)关于点B(－2，4)的对称点为 （－7，6）

二、直线关于点对称的直线

【例2】：求直线4 x＋ y－1＝0关于点M（2，3）对称的直线方程

解：（法一利用设元）设直线4 x＋ y－1＝0上的点P（x0，y0），

则点P（x0，y0）关于点M（2，3）的对称点为Q（x，y），

则由中心对称公式可知x0＝4－x ，y0＝6－y

代入直线4x＋ y－1＝0可得16－4 x＋6－y －1＝0 即4x＋y－21＝0

法二利用距离：设所求的直线为4 x＋y＋m＝0,

则点M（2，3）到两条直线的距离相等，∴＝

由于点M（2，3）在两直线的中间∴10＝－11－m∴m＝－21，即所求的直线为4 x＋y－21＝0

【变式】：已知直线，求直线关于点的对称直线方程

解：设直线关于点的对称直线为，则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，故由得 将代入直线的方程得：．

关于直线对称的点

设点P（x0，y0）关于直线的对称点为P′（x′，y′），则有

特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.

【例3】：求点P(2,0)关于直线2 x＋4 y＋1＝0对称点Q的坐标

解：（法一利用交点） ∵过点P(2,0)垂直于2 x＋4 y＋1＝0的直线为4（x－2）－2（y－0）＝0即4x－2y－8＝0即2x－y－4＝0而直线与直线2x＋4y＋1＝0的交点为M，

∴∴即M（，－1） 由中心对称可以求出Q的坐标为（1，－2）

解：（法二利用斜率）设Q（a，b），则由PQ直线的斜率与直线L的斜率之积为1及P、Q的中点在直线L上可以列出方程组

∴∴Q（1，－2）

特例：点（a，b）关于直线x＝c的对称点为（2c－a，b）, 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a）

点（a，b）关于直线y=－x的对称点为（－b，－a）点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（b－c，a ＋c）

点（a，b）关于直线y=－x+c的对称点为（－b＋c，－a＋c）

【变式】：直线，一束光线过点，以的倾斜角投射到上，经反射，求反射线所在直线的方程．

解：由已知入射线的倾斜角为，其斜率，又入射线过点，所以入射线所在直线的方程为：．

解方程组得交点．

利用关于直线对称点的知识，求得点关于的对称点．

又由反射线所在直线过与两点，它的方程为，即：．

四、直线关于直线对称的直线

【例4】： 求直线2 x＋ y－4＝0关于直线 x－y＋1＝0的对称直线方程

解：（法一利用设元）设直线2x＋y－4＝0上的点P（x0，y0），

则点P（x0，y0）关于直线x－y＋1＝0对称的点Q（x，y）

则x＝y0－1，y＝x0＋1∴代入直线2 x＋y－4＝0可得2(y－1)＋x＋1－4＝0即x＋2y－5＝0

解：（法二利用夹角）由两直线的交点可得交点为∴所求直线过点（1，2），设其斜率为（若求不出则说明直线垂直于x轴），又∵直线2x＋y－4＝0到直线 x－y＋1＝0的角与直线 x－y＋1＝0到所求直线的角相等即∴＝－∴所求直线为y－2＝－（x－1）即x＋2 y－5＝0

解：（法三利用距离）∵三直线交于一点，∴设直线系方程为（2x＋y－4）＋λ（x－y＋1）＝0即（2＋λ）x＋（1－λ）y＋（λ－4）＝0不妨在对称轴直线 x－y＋1＝0上任取一点（0，1）则 ∴λ＝－1或λ＝0（舍去）∴所求直线为x＋2 y－5＝0

【变式】：求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

解：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有

3×+4×－1=0，

=. 解得x0=，y0=.

Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，

则2×+－4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.

五、对称性应用问题：

直线上的一点与直线外两点的“距离的和”与“距离的差”的最值问题：

设直线上有点M，直线外有两点A，B

(1)求|MA|+|MB|的最小值：(最终在直线L的两侧)

当A，B位于直线的两侧时，

直接连接AB 则|AB|长为所求，直线AB与L的交点就是M

当A，B位于直线的同侧时，

作出A关于的直线的对称点，连接，则||长为所求，直线 与的交点为M

(2)求|MA|-|MB|的最大值：（最终在直线L的同侧）

当A，B位于直线的同侧时，

直接连接AB则|AB|长为所求，直线AB与的交点就是M

当A，B位于直线的两侧时，

作出A关于的直线的对称点，连接，则||长为所求，直线与的交点为就是M

【例5】：已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.

（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|－|PB|最大.

解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.

+2·－2=0， x1=－

·（－）=－1. y1=－.

由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.

直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.

【变式】已知直线和两点、．

(1)在上求一点，使最小；(2)在上求一点，使最大．

解：(1)如图，设关于的对称点为

则

∴，．∴

∴的的是，与的交点是，故所求的点为．

(2)如图，是方程，即．

由 与的交点P所求的点

线性规划

1、二元一次不等式和表示平面域．

（1）二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．直线应画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．

（2）判断方法：，在直线同一侧，把它们的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．

2、线性规划：

设，式中变量满足求的最大值和最小值．这就是一个线性规划问题，其中的不等式组成为线性约束条件，叫目标函数，满足约束条件的（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．

在画要将其斜率和组成可行域边界的直线的斜率进行比较，以确定其位置。

典型示例：

不等式表示平面区域

【例6】用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．

解：直线方程为．直线的方程为．直线的方程为．

所表示的平面区域内（如图）．

所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组表示．

【变式】的三顶点为A(3，－1)，B（－1，1），C（1，3），写出区域所表示的二元不等式组。

（）

【例7】(全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积

解：做表示的区域为,

由

【变式】(08安徽卷15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为

求目标函数的最值

【例8】1、（2006年全国卷I）设，式中变量满足下列条件，则z的最大值

解．线性规划的题，做图1如右。

解方程组得点A坐标（3，7）

代入，得。所以。

2、设式中的变量、满足下列条件求的最大值．

解：作出直线和直线，得可行域如图所示．

解方程组得交点．

又作直线，平等移动过点时，取最大值，然而点不是整数点，故对应的值不是最优解，此时过点的直线为，应考虑可行域中距离直线最近的整点，即，有，应注意不是找距点最近的整点，如点为可行域中距最近的整点，但，它小于，故的最大值为34．

【变式】1、已知，．求的最小值．

解：由得可行域(如图所示)为，而到为，所以的最小值分别是．

2、已知变量、满足约束条件，求的取值范围。

解：

即

即

∴取值范围为

（三）求在最优解：

【例9】（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为．

二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组

所表示的平面区域，即可行域．如图：

作直线， 即．

平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．

联立解得．

点的坐标为．

（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

【变式】某公司每天至少要运送180货物．公司有8辆载重为6的型卡车和4辆载重为10的型卡车，共10名驾驶员，型卡车每天可往返4次，型卡车可往返3次，型卡车每天花费320元，型卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少．

解：设型卡车辆，型卡车辆，则即

目标函数．做如图所示的可行域，

做直线．在可行域中打上网格，找出，，，，，，…等整数点．做与平行，可见当过时最小，即(元)．

练习：1、（08全国二5）设变量满足约束条件：，则的最小值（ D ）

A． B． C． D．

2、（08北京卷5）若实数满足则的最小值是（ B ）

A．0 B．1 C． D．9

3、（08天津卷2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为D

（A）2 　　　　（B）3 　　　　 （C）4 　　　　（D）5

4、（08山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是C

（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]

5、（08湖南卷3）已知变量x、y满足条件则的最大值是( C )

A.2 B.5 C.6 D.8

6、（08陕西卷10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ B ）A．7 B．5 C．4 D．3

7、（08全国一13）若满足约束条件则的最大值为 ．9

8、（08浙江卷17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于____________。1

9、（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ B ）A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元

10、（2007安徽）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（　A　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

练习2：

练习：1、点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点是（ ）

A．（5，2） B（2，－5） C（－5，－2） D（－2，－5）

2、与直线2x＋3 y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线是（ ）

A．3x－2y＋2＝0 B. 2x＋3 y＋3＝0 C. 3x－2y－12＝0 D. 2x＋3y＋8＝0

3、直线y＝a x＋2与直线y＝3 x－b 关于y＝x对称，则a＝ b＝

4、巳知直线L1和L2夹角的平分线为y=x，如果L1的方程是ax+by+c=0.（ab>0），那么L2的方程是（　　）

A. bx+ay+c=0　B. ax-by+c=0 C. bx+ay-c=0 D. bx-ay+c=0

5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a为( )

A－ B－6 C－3 D

6、（上海）直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0

7、一条光线从射到直线以后，再反射到一点，求

这条光线从到的长度

解：先求得关于对称点坐标，则

答案：1、C 2、D 3、 ，6 4、A 5、B 

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