知识梳理：

1、直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想

需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线有且只有一个交点

2、涉及直线与双曲线相交弦的问题：

主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）

3、韦达定理的运用：

由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用

4、 弦长公式：

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

典型示例：

【例1】已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)，求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得

(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)

(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点

(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时

Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；

当k＞时，l与C没有交点.

【变式】直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．

解：由方程组消去得 ．　　　　　　①

设、，中点的坐标为．

∵直线与双曲线的左支相交于，两点，

∴方程①有两个不大于-1的不等实根．

令，则 解得，

，．

∴直线的方程是

令，得．

∵， ∴或．

【例2】已知双曲线和定点

（I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点；

（II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由

　解：（I）设过定点的直线的方程为： 则，

①当时，即，

解得或与双曲线分别交于和

②当时，由得，即得切线切点为，

另一切线为，切点为

∴过点有4条直线与双曲线只有一个公共点

（II）设点为中点，则

因为满足双曲线方程，

所以 ，相减得

若弦存在，则必为， 代入双曲线方程得，

方程的判别式，说明中点弦不存在

【变式1】已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦

（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），

代入双曲线方程得（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=－，

由已知=xp=1，∴=2解得k=1

又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0

（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在

【变式2】设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．

解：由过两点，，得的方程为．

由点到的距离为，得．

将代入，平方后整理，得．

令，则．解得或．

而，有．故或．

因，故，所以应舍去．故所求离心率．

【例3】已知、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，又离心率为．求双曲线的标准方程。

解：设双曲线方程为，因，而，由双曲线的定义，得．由余弦定理，得

，

∴．又，

∴．∴，，得，．

∴所求双曲线的方程为．

【变式】已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．

解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．

∴,

∵ ∴在中，

∵

∴ ∴ ∴

【例4】 已知双曲线的方程是16x2－9y2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小

解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，

∴a=3，b=4，c=5焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x

（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=

== =0

∴∠F1PF2=90°

【变式2】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ D ）

A． B． C． D．

【变式3】设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率

【例5】已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),

A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+，

由双曲线的定义，=e=, ∴|AF1|=(x1+)=x1+2,

同理，|BF1|=x2+2,

∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)

双曲线的右焦点为F2(,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，

由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,

∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得

|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+

∴|F1A|·|F1B|>;

(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,

∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=

由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值

【变式】　已知，是过点的两条互相垂直的直线，且，与双曲线各有，和，两个交点．(1)求的斜率的取值范围；(2)若，求，的方程；

解：(1)依题意，直线，的斜率都存在，设的方程为直线的方程为，且．

由方程组消去，整理得　　　　　①

若，则方程①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．

故，即．

∵直线与双曲线有两个不同交点，

∴．

由方程组消去，整理得

　　　　②

同理，．

所以，与双曲线各有两个交点，等价于 解得

∴．

(2)设，；由方程①可得，．

∴　　③

同理，由方程②可得．　　　④

∵，代入④得 ．　　　　⑤

由，得．

将式③和式⑤代入得

． 解得．

当时，，；

当时，，．

练习：

1、设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为 ( )

A 1 B C 2 D

答案: A解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h或面积公式

2、设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )

A 0 B 1 C D 2

答案: A 解析: 不妨设由, , ,

3、设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )A 0 B 1 C D 2

答案: A 解析: 不妨设由, , ,

4、双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程

解：由题意k＞0，c=，渐近线方程l为y=x，

准线方程为x=±，于是A（，），

直线FA的方程为 y=，于是B（－，）

由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，yC=2yB－yA＝

将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得k2c4－10kc2＋25＝0

解得k（1+）＝5，则k＝4所以双曲线方程为4x2－y2＝1．

5、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).

(1)求双曲线方程.

(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.

7.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.

所以所求双曲线方程为=1.

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐标为(2，2）

假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有

，∴kl=

∴l的方程为y= (x－2)+2,

由,消去y,整理得x2－4x+28=0.

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.

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