知识梳理：

1、直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想

需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线有且只有一个交点

2、涉及直线与双曲线相交弦的问题：

主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）

3、韦达定理的运用：

由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用

4、 弦长公式：

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

典型示例：

【例1】已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)，求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

【变式】直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．

【例2】已知双曲线和定点

（I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点；

（II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由

　解：（I）设过定点的直线的方程为： 则，

①当时，即，

解得或与双曲线分别交于和

②当时，由得，即得切线切点为，

另一切线为，切点为

∴过点有4条直线与双曲线只有一个公共点

（II）设点为中点，则

因为满足双曲线方程，

所以 ，相减得

若弦存在，则必为， 代入双曲线方程得，

方程的判别式，说明中点弦不存在

【变式1】已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦

（

【变式2】设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．

【例3】已知、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，又离心率为．求双曲线的标准方程。

【变式】已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．

【例4】 已知双曲线的方程是16x2－9y2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小

【变式2】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）

A． B． C． D．

【变式3】设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率

【例5】已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值

【变式】　已知，是过点的两条互相垂直的直线，且，与双曲线各有，和，两个交点．(1)求的斜率的取值范围；(2)若，求，的方程；

练习：

1、设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为 ( ) A 1 B C 2 D

2、设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( ) A 0 B 1 C D 2

3、设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )A 0 B 1 C D 2

4、双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程

5、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).

(1)求双曲线方程.

(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.

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