数学

本试卷由必做题与附加题两部分组成．选修测试历史的考生只对必做题部分作答，满分为160分，考试时间120分钟；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答，满分200分，考试用时150分钟．

第Ⅰ部分 必做题部分

注意事项：

答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内.答题时，填空题和解答题的答案均写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效.考试结束后，上交答题纸.

一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合，集合，则= ▲ .

2.的值= ▲ .

3.若复数(为虚数单位)，则 ＝　　 ▲ .

4.若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围为

　　▲ .

5.已知是偶函数，定义域为，则的值为 ▲ .

6.焦点在轴上，离心率是，焦距是8的椭圆的标准方程为_ ▲ .

7.在等差数列{}中，若，则数列{}前15项的和为 ▲ .

8.已知直线与圆 交于，两点，且则

= ▲ .

9. 已知500辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车车辆数为 ▲ .

10.已知，且函数的最小正周期是. 类比上述结论，若，为正的常数，且有 ，则的最小正周期是

▲ .

11. 如果执行下面的程序框图，那么输出的等于 ▲ .

12.当时，函数的最小值为 ▲ .

13.在直角中，已知，，，点是内任意一点，则的概率是 ▲ .

14.二次函数的二次项系数为负，且对任意实数，恒有，若，则的取值范围是 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

在中，已知.

（Ⅰ）求角的度数；

（Ⅱ）若，求的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在正四棱柱中，，为的中点，分别是的中点，过点作的垂线交侧棱于点F. 求证：

（Ⅰ）∥平面；

（Ⅱ）平面⊥平面.

17.（本小题满分15分）

在平面坐标系中，设，.

(Ⅰ)当取得最小值时，求的值；

（Ⅱ）若，且，求的值.

18.（本小题满分15分）

已知圆，若斜率为1的直线被圆截得的弦为直径的圆恰好过原点.

(Ⅰ) 求直线的方程；

（Ⅱ）求以弦为直径的圆的方程.

19.（本小题满分16分）

某企业生产一种奥运纪念品，每件生产成本为()元，另外每件纪念品需要花费2元的广告费. 已知该产品年销售量(万件)是销售价格()元的二次函数，它们的关系如下表：

（元）

11

12

13

…



(万件)

162

128

98

…



(Ⅰ)求该企业年利润（万元）与每件产品的销售价格的函数关系式；

(Ⅱ)当每件产品的销售价格为多少元时，该公司年利润最大，并求的最大值.

20.（本小题满分16分）

已知数列的前项和为， ,且.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若，数列的前项和为，是否存在最小的正整数，使得当时，恒成立. 若存在，求出；若不存在，说明理由.

(Ⅲ)若对于一切不小于3的自然数恒成立，求实数的取值范围.

第Ⅱ部分 附加题

21.（本小题满分10分）

在一个二阶矩阵的变换作用下，点变换为，点变换为.

（Ⅰ）若在矩阵变换作用下，点变换为点，求点的坐标；

（Ⅱ）求矩阵特征值.

22.（本小题满分10分）

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.

（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦的长度.

23.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，⊥平面，，，.

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

24.（本小题满分10分）

在某部队军事技能竞赛中，规定每位选手必须通过四轮测试方可成为最后的优胜者，并且要求只有通过前一轮测试者才有资格参加下一轮测试，否则被淘汰.假定某选手通过每一轮测试的概率均为，设该选手通过测试的轮数为随机变量,求:

（Ⅰ）的概率分布；

（Ⅱ）的方差.

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