一. 教学内容：

多面体

目标：掌握棱柱、棱锥的概念、性质及应用。

重点：应用棱柱、棱锥性质解题。

难点：多面体中的角与距离问题。

知识点：

1. 棱柱与它的性质

（1）定义：有两个面互相平行，其余各面是两相邻面的交线平行的多面体。

（2）分类：

（3）性质：

①各侧面都是平行四边形，（直棱柱侧面是矩形）所有侧棱都相等。

②平行底面的截面与底面全等，对应边平行。

③过不相邻侧棱截面是平行四边形。（直棱柱时为矩形）

2. 棱锥

（1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形的多面体。

（3）性质：平行底面的截面与底面相似，截面与底面面积之比等于对应高的平方比。

【典型例题】

例1. 在下面四个命题中：

（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

（2）斜三棱柱的侧面一定都不是矩形；

（3）底面是长方形的平行六面体是长方体；

（4）侧面是正方形的正四棱柱是正方体。

真命题共有（ ）个。

答：只有（4）是真的。

例2. 直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1B1C1=90°，且AB=BC=BB1，E、F分别是AB、CC1的中点，求A1C与EF所成角的余弦值。

解：

设A1C与EF所成角为θ

例3. 正四棱柱ABCD—A’B’C’D’中，若A’B与平面A’B’CD所成角是30°，求证：此正四棱柱是正方体。

证明：设AB=BC=1，AA’=a

∵平面A’C⊥平面BC’

∴过B作BO⊥B’C于O

则BO⊥平面A’B’CD，∠BA’O=30°

在Rt△B’BC中，由B’C·BO=B’B·BC

∴a=1，于是此四棱柱为正方体。

例4. 棱锥平行底面的截面与底面的面积之比为1：3，求截面将侧棱分成两段之比。

解：

例5. 正n棱锥侧棱与底面边长相等，求n的集合。

解：如图所示知每个侧面都是正三角形，这些侧面顶角和为n60°。

由60°·n<360°

注：∠ASB<∠AOS

例6. 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°。

（1）证明AA1⊥BD

证明：（1）∵∠A1AD=∠A1AB，AC⊥BD

过A1作A1O⊥底面AC于O，则O∈AC

∴由三垂线定理得BD⊥A1A

（2）设AB=BC=1，CC1=h

【模拟试题】

1. 长方体交于一个顶点的三个面的面积分别为，则长方体的体积为（ ）

A. B. 6 C. D.

2. 过一个棱锥的高的两个三等分点作平行于底面的两个截面，那么截面与底面的面积之比为（ ）

A. 1：2：3

B. 1：4：9

C.

D. 1：2：6

3. 边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角后，B、D两点间的距离是（ ）

A. 2 B. C. 1 D.

4. 正三棱锥中，PA与BC所成角的大小为______________。

5. 设正四棱锥底面边长为4，侧面和底面所成的二面角为60°，则这个棱锥的侧面积为________________。

6. 若正六棱锥的底面边长为2，高为1，则其顶点到底面各边的距离为__________。

7. 与四面体的四个顶点距离相等的平面共有_____________个。

8. 棱长为a的正方体，从A出发沿着正方体的表面运动到，最近的距离是_______________。

9. 如图所示，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为，求与平面所成的角。

10. 已知正四棱锥中，E为PC的中点，且。求二面角的大小。

11. 已知四边形ABCD为矩形，平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。

（I）证明：；

（II）若平面PCD与平面ABCD成45°的角，求证：平面平面PCD。

【试题答案】

1. A 2. B 3. C

4. 90° 5. 32 6. 2

7. 7 8.

9. 解：

∴取中点D，连DA

则

10. 解：∵E为PC中点，

11. 解：（I）略

（II）提示：证MN⊥平面PDC。

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