一. 教学内容：

概率复习、本学期的模拟试题

二. 重点、难点

1. 等可能事件的概念及其概率的计算

2. 互斥事件及对立事件的概念及互斥事件的概率加法公式

3. 相互独立事件的概念及其概率的乘法公式，独立重复试验中事件恰好发生k次的概率

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三. 主要内容及注意点

1. 知识网络

2. 知识要点

（1）对等可能事件理解实质在于对等可能性的理解，等可能性指的是结果，而不是事件，等可能性是不能确切对应的，而只能理解成随机试验过程中，一切事件出现的机会均等。使用公式计算时，关键在于m、n的值，在求n时必须注意这n个元素组成集合I，包括m个结果的事件A则为I中含有m个元素的子集。用card(I)表示集合I中的元素的个数，则

（2）对于概率中的一些公式，要注意运用它的前提条件，因为每个公式都有其成立的条件，若不满足条件，则这个公式将不再成立。如：对于等可能事件A来说，才能应用公式；只有对于互斥事件A与B来说，才能应用公式P(A+B)=P(A)+P(B);只有对于相互独立事件来说才能应用公式P(AB)=P(A)P(B)等等。

（3）求某些比较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率。即若事件A发生的包含情况较多，而它的对立事件（即A不发生）包含情况较少，利用公式计算A的概率则比较方便，特别要计算“至少有一个发生”的概率P(A)多数应用方法二，常可使概率的计算得到简化。

（4）对于一个概率问题，应首先搞清它的类型，不同类型采用不同计算方法，一般的问题中总有些关键语句暗示其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思维的方法，学习解决概率问题必须熟练掌握下列程序：

准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如同时发生，至少（多）有一个发生，恰有一个（或几个）发生，等等；

明确事物的抽取方式，如放回还是不放回，抽取有无顺序，等等；

正确选择排列、组合方法计算基本事件发生数与事件总数，或根据概率计算公式或性质计算事件的概率。

（5）已知事件A，B，它们的概率为P(A)，P(B)，将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发生计为A·B，都不发生计为，恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件，则它们概率关系表有：

概率

A与B互斥

A与B相互独立



P(A+B)

P(A)+P(B)





P(A·B)

0

P(A)·P(B)





















1

1－P(A)·P(B)



（6）重复实验是同一实验的n次重复，每次实验的结果出现的概率不受其它各次实验结果的影响，每次实验有两个可能的结果：成功或者失败，它与试验的序号无关，并且任何一次实验发生的概率都是一样的，其中Pn(k)=CnkP(1－P)n－k是重复试验的次数，P是在1次实验中某事件A发生的概率，k是在n次独立实验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，P，k这些量的意义，亦即弄清公式使用的前提，才能正确运用这一公式求解n次独立重复试验A恰好发生k次概率。

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3. 概念区分

（1）随机实验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫一次实验，如果实验结果预先无法确定，这种实验就是随机实验。

（2）频率与概率：对一个事件来说概率是一个常数；而频率随着试验次数变化而变化，实验次数越多，频率越接近事件的概率。

（3）互斥事件与对立事件：有些事件之间，一个发生，另一个就不会发生，即两个事件不可能同时发生。这种不可能同时发生的两个事件就叫互斥事件。互斥事件的概率计算可用加法进行。如对于互斥事件A和B来说，则有P(A+B)=P(A)+P(B)。而对于两个互斥事件A与B来说，其中必有一个发生，称其为对立事件。即：事件A发生，则B一定不发生；事件A不发生，则事件B必发生。因此，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，也就是两事件对立是互斥的充分非必要条件。从集合的角度看，设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A,B，若事件A与B互斥，即集合 事件B发生）即可理解为A∪B。

（4）互斥事件与相互独立事件：两事件互斥是指两事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，也就是说，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响。相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：事件A与B独立，则有P(AB)=P(A)P(B)

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4. 求解概率问题通常分三步进行：

第三步，运用公式：

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【典型例题】

例1. 甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.

解： (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A0、A1、A2、A3；乙恰投中0次，1次、2次、3次为事件B0、B1、B2、B3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D＝A0B0+A1B1+A2B2+A3B3

所以P(D)＝P(A0B0)+P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)

＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C31×0.6×(1-0.6)2×C31×0.7×(1-0.7)2+C32×0.62×(1-0.6)C32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321

(2)设“甲得分比乙多”为事件E，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E发生，所以E＝A1B0+A2B0+A3B0+A2B1+A3B1+A3B2

利用公式可求得P(E)＝0.243

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例2. 甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.

解： (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384

(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·，A··C，·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832

(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A··，·B·，··C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A··)+P(·B·)+P(··C)＝P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C) 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/36/76/367657.htm