主讲老师：肖宏

基础知识：

函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》.

例题：

已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( )A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C

设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )A.－1 B.0 C.1 D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1选A

定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150 B. C.152 D.提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150所有101个根的和为×101＝.选B

实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0∴ x＝sin(xy)＝±1∴ siny＝1 xsin(xy)＝1原式＝7

已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x－∴ x2－2x＋19＝99即 x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即 x4－236x2＋6400＝0∴ b＝－236，c＝6400b＋c＝6164

已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4.证法一：由已知条件可得 △＝b2－4ac≥0 ① f⑴＝a＋b＋c＞1 ② f(0)＝c＞1 ③ 0＜－＜1 ④ b2≥4ac b＞1－a－c c＞1 b＜0(∵ a＞0)于是－b≥2所以a＋c－1＞－b≥2∴ ()2＞1∴ ＞1于是＋1＞2∴ a＞4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)＝a(x－x1)(x－x2) f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1 f(0)＝ax1x2＞1由基本不等式x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2∴ ≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1∴ a2＞16∴ a＞4

已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥.解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|}⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部)则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}而f⑴＝1＋a＋b f(－1)＝1－a＋b|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞⑵|－|＜1M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|} ≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|) ≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)] ＝ ≥综上所述，原命题正确.

⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x2001＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解⑵两边取以2为底的对数得于是f(2x)＝f(x2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2x＝x2＋1解得：x＝1

设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值.解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m，记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋xf⑷＝6(4－m)＋4f(0)＝6m∴ [f⑷＋f(0)]＝7

设f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，当x∈R时，求证：|f(x)|≥证明：配方得：f(x)＝x2(x－2)2＋(x－1)2－ ＝x2(x－2)2＋(x－1)2－1＋ ＝(x2－2x)2＋(x－1)2－1＋ ＝[(x－1)2－1]2＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4＋(x－1)2＋ ≥

练习：

已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3 B.－3 C.5 D.－5解：∵ f⑴＝a＋bsin51＋1＝5 设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3选B

已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3x＋y＝－x4x＋y＝0

解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0解：构造函数f(x)＝ln(＋x)＋x则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)由函数的单调性，得x＝－2x所以原方程的解为x＝0

若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是______________.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交即△≥0 ∴ a2＋4a≥0a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0△＝a2＋4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立则必须a2＋4a≥0成立∴ a≤－4或a≥0

函数y＝的最小值是______________.提示：利用两点间距离公式处理y＝表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝5

已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，试比较f(t)与x1的大小.解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c， ＝a(x－x1)(x－x2)∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋)又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴ f(t)－x1＞0∴ f(t)＞x1解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x令g(x)＝a(x－x2)∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x1 ( g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t∴ ＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴ f(t)－t＞x1－t∴ f(t)＞x1 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/12/65/126544.htm