【教学目标】

掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们及有关的三角知识解三角形及有关的实际应用问题；培养学生的化归思想和分析问题、解决问题的能力．

【高考试题剖析】

1．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A等于（　　）

A．150° B．120° C．60° D．30°

【解析】由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc得(b＋c)2－a2＝3bc

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝，

∴A＝60°．

【答案】C

2．已知△ABC中，a＝10，b＝5， A＝45°，则B等于（　　）

A．60° B．120° C．30° D．60°或120°

【解析】，∴．

∴B＝60°或120°．

【答案】D

3．在△ABC中，若sinBsinC＝，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【解析】由sinBsinC＝得sinBsinC＝

∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC

∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1

∴B－C＝0，即B＝C．

【答案】A

4．△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝_____．

【解析】由b＝2a得sinB＝2sinA，又B＝A＋60°

∴sin(A＋60°)＝2sinA

∴sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA

∴sinA＝cosA，∴tanA＝

又0°＜A＜180°，∴A＝30°．

【答案】30°

5．△ABC中，若，则△ABC的形状为_____．

【解析】由得，

又sinA≠0，sinB≠0，

∴，∴sin2A＝sin2B

∴2A＝2B或2A＋2B＝180°

∴A＝B或A＋B＝90°

【答案】等腰三角形或直角三角形

【典型例题精讲】

［例1］已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

【分析】∵a＝4，b＝5，∴要求c的长度，只需求∠C，故可由S＝5求∠C．

【解】∵a＝4，b＝5，S＝absinC＝5

∴sinC＝，于是C＝60°或120°

∴又c2＝a2＋b2－2abcosC

∴当C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab＝21，故c＝；

当c＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab＝61，故c＝．

故c的长度为或．

【评述】本题主要考查三角形的面积计算公式和余弦定理．这是解三角形的一个基本内容．

［例2］在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C及边c．

【分析】这是已知两边和其中一边的对角解三角形问题，运用正弦定理可解，但需对解的情况加以讨论．

【解】由正弦定理，得：

∵B＝4５°＜90°且b＜a，

∴有两解A＝60°或A＝120°

(1)当A＝60°时，C＝1８0°－(A＋B)＝75°

(2)当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°

【注】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先必须判明是否有解?如果有解，是一解还是二解?

［例3］在△ABC中， A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2．

【分析】要证1＜a＋c≤2， 只需求a＋c的取值范围，而已知B＝60°，A＋C＝120°，故可用正弦定理把a＋c转化成用A、C表示，b＝1，B＝60°，也可由余弦定理转化出关于a＋c的等量关系式．

【证法一】由正弦定理：得

［sinA＋sin(120°－A)］＝2sin(A＋30°)

∵0°＜A＜120°，∴30°＜A＋30°＜150° ∴1＜2sin(A＋30°)≤2．

【证法二】∵B＝60°，b＝1

∴a2＋c2－b2＝2accos60°

∴a2＋c2－1＝ac，∴a2＋c2－ac＝1

∴(a＋c)2＋3(a－c)2＝4

∴(a＋c)2＝4－3(a－c)2

∵0≤a－c＜1

∴0≤3(a－c)2＜3

∴4－3(a－c)2≤4

即(a＋c)2≤4

∴a＋c≤2，又a＋c＞1 ∴1＜a＋c≤2

【评述】边角互化是解三角形问题常用的手段．

［例4］在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c．

证明：．

【分析】由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然使我们联想到正弦定理、余弦定理．

【证法一】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA． b2＝a2＋c2－2accosB

∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB

整理得

依正弦定理有．

∴

【证法二】由正弦定理得：

［例5］如图5—9所示，有两条相交成60°角的直路xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．

(1)起初，两人的距离是多少?

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离．

(3)什么时候两人的距离最短?

【分析】本题是已知两边及其夹角求第三边的简单应用问题，但是在第(2)小题要对动态中的P和Q分0≤t≤和t＞两种情况讨论，最后统一成一种表达式．

【解】(1)设甲、乙两人最初的位置是A、B

则||2＝||2＋||2－2||·||·cos60°

＝32＋12－2×3×1×＝7．

∴｜｜＝ (km)

(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则｜｜＝4t，||＝4t

当0≤t≤时，||2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2·(3－4t)·(1＋4t)·cos60°

当t＞时，||2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)·cos120°

注意到，上面两式实际上是统一的，所以

||2＝4８t2－24t＋7

即：||＝

(3)∵||2＝4８(t－)2＋4

∴当t＝小时时，即在第15分钟末，PQ最短，最短距离是2 km．

【综合能力训练】

1．若，则△ABC是（　　）

A．等边三角形

B．有一个内角是30°的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．有一个内角是30°的等腰三角形

【解析】由得

∴B＝C＝45°

【答案】C

2．△ABC中，已知∠A＝120°，且，则sinC等于（　　）

A． B． C． D．

【解析】设AC＝2x，则AB＝3x

∴BC2＝9x2＋4x2－12x2·cos120°＝19x2

∴BC＝x

∴．

【答案】A

3．在△ABC中，若∠C＝60°，则＝_____．

【解析】 (*)

∵∠C＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab

∴a2＋b2＝ab＋c2．

代入(*)得＝1．

【答案】1

4．已知△ABC的两边b、c及∠A．则∠A的平分线AD的长为_____．

【解析】设AD＝x，BD＝m，DC＝n，则有

m2＝x2＋c2－2cxcos；

n2＝x2＋b2－2bxcos．

由

当b≠c时(b＋c)x＝2bc·cos

．

当b＝c时， x＝b·cos

【答案】

5．在△ABC中，已知b＝a(－1)，C＝30°，求A、B．

【解】由余弦定理cosC＝cos30°＝，

用已知条件把这个式子变形为

a2＋a2(4－2)－c2＝a2(－1)

∴c2＝(2－)a2

∴

由正弦定理：，

∴sinB＝sin30°＝

∵a＞b，∴A＞B，从而B必须是锐角，即B＝4５°， 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/12/18/121816.htm