2005届江苏常熟市实验中学排列组合 概率统计 专题复习

殷伟康

排列、组合、二项式定理及概率、统计以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学中占有特殊的地位，是高考中独立的内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的不同，它们既是学习概率与统计的预备知识，又是进一步学习数理统计等高等数学的基础，综观近年来高考题（新教材卷），都是以考查基本概念、基本知识和基本运算为主，能力要求主要是考查分析问题和解决问题为主。

1、高考命题特点与考题展望

1.1 排列组合是中学数学中相对独立性较强的一部分，也是密切联系实际较强的一部分，一直是高考必考内容，从近些年各地高考试题看，预计仍会出排列组合试题、二项式定理试题、概率、统计试题，试题的难度为“较易”到“中等”程度，排列、组合的试题仍会与现实生活中的生产问题、经济问题等为背景，题型多数还是以选择、填空形式出现。二项式定理的试题是多年来缺少变化的试题，考查内容还是每年考的几方面为主，若单独查会放在选择、填空上，也有可能解答题中涉及用二项式定理求近似值问题。

1.2 概率与统计是高中数学的新增内容，自从1997年津晋赣地区试行新教材以来，以及上海等地区试用新教材以来，每年的高考题中概率是必考的内容之一，这说明高考对这部分内容是非常重视的。1999年以前基本上是考查选择题和填空题。2000—2003年分别考查了等可能事件的概率、互斥事件的概率，独立事件的概率、独立重复试验中的概率问题。2003年初次使用新教材的江苏等地高考考查了互斥与独立事件的概率。2004年江苏没有考概率大题，但是全国各地高考题中约90%的试卷中有概率大题，从中还反映出概率问题的综合性要求逐步提高。值得注意的是，除了一直进行的概率知识内部几种类型的综合考查外，继02年天津考题出现概率知识与不等式知识综合之后，04年上海、湖南、湖北等地高考卷中进一步体现了对概率知识与外部知识综合的考查要求。

2、学生学习中的薄弱环节

由于排列、组合、概率计算思维抽象，方法独特，对学生逻辑思维能力、分类讨论、转化能力及创新意识要求较高，特别是遇到新情景问题，不少学生有畏惧感，不能仔细读题，用心理解合理转化，寻找到解题的最佳切入点，常常是概念模糊，审题不清，方法不明，“加”“乘”颠倒，有序无序混淆，公式乱用，讨论不能做到不重不漏。

例1．函数y=f(x)定义域为A={1，2，3，4，5}，值域为B={－1，0，1}，则这样的函数有多少个？

错解：函数是映射，有35个

剖析：概念不清，特别是值域的概念，没有理解为B中每个元素在A中都必须有原象，可转化为现实问题：五本不同的书分给3分，每人至少一本，有多少种分法？分1人得3本另2人各得1本，或1人得1本另2人各得两本，有：种。

例2．（2003年江苏高考题）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。

学生往往无从下手，分类讨论不清，其实

可按编号顺序先栽种1、2、3三个部分，

有种。

也可从中心1入手，1不可能与其它位置同

色，2、3、4、5、6中应有一处单色，另4处有2对同色，共有种。

3、复习策略：考纲领航定位

3.1 高考中排列、组合试题多以现实生活中的实际问题、经济问题为背景，从形式看以下几种类型最为常见：数字问题、人或物的排列问题、集合的子集个数问题、几何问题、选代表或选样品的问题，难度与教材习题相当，多为“较易”到“中等”的程度，题目大多数以选择或填空形式出现。

3.2 二项式定理的试题题型变化不大，主要有：求多项式系数和、求某项系数、求二项式中的参数值、求常数项、有理项系数最大项、求整数余数、求近似值，试题常以选择或填空出现，有时解答题也会涉及到这些内容，难度与课本习题相当。

3.3 概率内容出解答题的可能性仍较大，题型仍会以几种常见类型的事件发生的概率为主，要求学生解答要规范，不能只有数学数字与符号，要有必要的文字表述。

3.4 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，新教材要求学生掌握初步的统计知识，并“体会统计思维与确定性思维的差异”。近几年高考中几乎每年都有一道统计题。

对以上内容，我们要根据考纲要求，准确定位，不随意提高或降低要求，加强专题训练，指导学生对错题及时订正反思，对思维方式、思想方法进行归纳、整理，并能拓展应用。

4、方法归纳、拓展应用

4.1 排列组合试题从解法上看，大致有以下几种：

（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；

（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；

（3）元素不相邻问题常用插空法，相邻问题常用捆绑法；

（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；

（5）穷举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；

（6）定序问题“缩倍法”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；

（7）隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有种方法。

排列组合和概率的试题多设计为考查概念、原理、公式，值得注意的是考题越基础，越不能死套公式，要善于“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”，从多角度考虑，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是元素，哪些是位置，找准解决问题的切入点：是从位置考虑还是从元素考虑，还是从问题的对立面考虑，“分辨”就是辨别是排列（与顺序有关）还是组合（与顺序无关），对某些元素的位置有无限制等。“分类”就是对较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决（这时常用分类计数原理），要注意“类”与“类”之间的无重无漏。“分步”就是将问题化为几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决（这时常用分步计数原理），要注意“步”与“步”之间的独立性、连续性，整个解题过程遵循的基本原则是：“特殊优先”的原则，先“分类”后“分步”的原则，先“取”后“排”的原则。

4.2 二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数相等）；二是赋值，这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的系数问题迎刃而解，（要注意二项式系数与二项式展开式项的系数之间的区别），解二项式定理的有关问题常与数列、不等式联系在一起，利用二项式定理可以求得展开式各项的系数和，证明组合数恒等式或不等式，证明整除性问题，近似计算问题，利用通项公式，求展开式的特定项，例如常数项，系数最大的项，有理项等，解决三项式 (a+b+c)n的有关项问题时可以考虑分解因式，也可将三项式化为二项式 [(a+b)+c]n来求解，也可利用展开式的构成求解。例如：求展开式中x3系数

（）

4.3 在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥的事件的和；二是先求出此事件的对立事件（适用于求用“至少”表达的事件的概率）的概率。这是典型的集合思想方法，把一个复杂事件分解成几个彼此独立的事件时，要做到不重复不遗漏，独立重复试验是同一试验的几次重复，每次试验结果出现的概率不受其它各项试验结果的影响，每次试验有两个结果，成功与失败，但与试验的次序无关，要弄清互斥事件与对立事件的联系与区别，对概率中的一些公式，要注意运用它们的前提条

件，例如：只有对于等可能事件A，才能用公式，只有对于互斥事件

A与B才能用P(A+B)=P(A)+P(B)，只有对于相互独立事件A与B来说才能用P(A·B)=P(A)·P(B)。

4.4 统计初步建立在概率基础上，江苏高考要求：了解随机抽样和分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样，高考命题时选择相关的中低档题。要注意简单随机抽样的4个特点：（1）样本总体个数有限；（2）逐个抽取 （3）不放回抽样；（4）等概率抽样。实施简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数表法，两种抽样方法的比较：

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围



简单随机抽样

抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

从总体逐个抽取



总体中个体数较少



分层抽样



将总体分成几层，分层进行抽取

各层抽样应用简单随机抽样

总体由差异明显的几部分组成



对于总体分布、总体期望和方差的意义要理解，并会用样本进行估计。

经典考题评析：

例1．（04年江苏高考题）从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会，若这四人中必须既有男生又有女生，则不同选法有

A．140种 B．120种 C．35种 D．34种

简解：或

评析：对于带限制条件的组合问题，通常从正面或反面入手，哪一面简单从哪一面入手。

例2．（04年天津高考题）从1、3、5、7中任取两个数字，从0、2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个（数字答）。

解：能被5整除，只能以0或5在个位上，共分三类：（1）有5无0，则5在个位，前3位1奇2偶，有个。（2）有0无5，则0在个位，前3位2奇1偶有个。（3）有0有5，分0在个位：个，5在个位：个。∴符合题意的共有：108+72+72+48=300个。

评析：优先考虑安排特殊元素（位置）然后再考虑其它元素（位置）的安排，而每一类排列组合数可以容易求出来，然后根据加法原理求出总数。

例3．（04年福建高考题）已知展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数和是（ ）

A．28 B．38

C．1或38 D．1或28

解：Tr+1=, r=4时，T5=，再令x=1得各项系数和为1或38。

评析：通过通项求特殊项，赋值法是解决二项式展开式中有关系数问题的重要手段。

例4．（04年重庆高考题）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5。

（1）若三人各向目标射击一次，求至少有一个命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率。

（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。

解：（1）设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙射击一次命中目标的事件，则A1、A2、A3相互独立，且P(A1)=0.7，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，∴至少有一人命中目标的概率为。

恰有两人命中目标的概率为=0.7×0.6×(1-0.5)+0.7×(1－0.6)×0.5+(1－0.7)×0.6×0.5=0.44。

（2）设甲每次射击为一次试验，则该问题构成三次独立重复试验，所求概率。

评析：本题除了考查相互独立事件、互斥事件概率的计算外，还侧重考查独立重复试验问题，从而综合考查运用概率知识解决实际问题的能力。

例5．（04年南通模拟题）有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆，在同一条件下进行耗油1L所行路程试验，得到如下样本数据（单位：km）：13.7, 12.7, 14.4, 13.8, 13.3, 12.5, 13.5, 13.6, 13.1, 13.4，并分组如下：

分组

频数

频率



































合 计

10

1.0





（1）完成上面频率分布表

（2）根据上表在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在中的概率

（3）根据样本，对总体的期望值进行估计

解：（1）略

（2）P=

（3）

评析：本题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，体现了考纲要求，学生在画频率分布直方图时，纵向坐标易错，往往直接画成频率，而应该是频率/组距，这里组距为0.5，即纵向坐标应是频率的2倍。

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