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课题:8.1椭圆及其标准方程（1）

课 型::新授课

教学目标

1.能理解椭圆的定义；明确焦点焦距的概念. 2.能由椭圆的定义导出椭圆的标准方程.

3.通过教学,培养形式运动、变化的观点.

重点: 椭圆的定义和椭圆的标准方程． 难点: 椭圆的标准方程的推导．

教具: 投影仪 教 法: 讲授法、探究法

教学过程

一、引入(问：2003年10月25日，中国“神州5号”飞船试验成功，实现了中国人民的千年飞天梦，请问：“神州5号”飞船绕什么旋转，运行的轨道是什么？

(多媒体演示)学生观察:地球绕太阳旋转运行录像,描绘出运行轨迹图.

提问:地球绕太阳旋转的轨迹是说明什么图形?(椭圆)

[出示课题]请同学们再列举一些椭圆的例子.由此指出:椭圆在实际生活中是很常见的,学习椭圆的有关知识也是十分必要的.（板书课题）我们知道,动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢?

二、新课

1.椭圆的概念（小组合作，形成概念）

让学生拿出课前准备好的一块纸板一段细绳两枚图钉按课本上的要求画椭圆.

先多媒体演示画法,再让学生自己动手画,使其尝试到成功的喜悦,提出以下问题:

思考:(1)在纸板上作图说明了什么?（到两个定点的距离的和等于定长（即这条绳长）的点的集合）

思考:(2)在绳长不变的情况下,改变两个图钉之间的距离,画出的椭圆有何变化?当两个图钉重合在一点时,画出的图形是什么?当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出的图形是什么?当两图钉固定时,能使绳长小于两图钉之间的距离吗?能画出图形吗?

实践得出:当时是椭圆；当时是线段；当时是圆；当时,无轨迹.

思考:(3)根据上面的实践作图回答:椭圆是满足什么条件的点的轨迹?

启发、提问、归纳出椭圆定义.（学生回答）

定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 令为椭圆上任意一点,则有

（下面我们以坐标法（借助坐标系，以代数中数与式的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法）来研究椭圆

2.椭圆的标准方程

回顾:(1)求曲线方程发一般方法——坐标法；

(2)求曲线方程的一般步骤——建系、设点、列式、化简.

（曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同）

思考:如何建立坐标系,使求出的点的坐标和方程最为简便?

归纳,选定下面两种方案

先选定方案一,推导方程:

①建系:以、所在直线为轴,线段的中点为原点建立直角坐标系.

②设点:设是椭圆上任意一点,设=,则,.

③列式: ,∴

前面设=，，观察图形能找出图形中a,c所表示的线段及其关系吗？

④化简:移项平方,整理得: 令目的：使方程的形式整齐，便于记忆同时b有特定的几何意义

思考:、大小关系如何?

指出:方程(>>0)叫做椭圆的标准方程.这里 焦点在x轴上，坐标是,

启发:若选用第二种方案,方程的形式又如何? (>>0)

归纳:明确椭圆的两种标准方程的异同点.

①方程的右边都是1；②在两种方程中,总有>>0③怎样判断椭圆的焦点是在哪条轴上?（看的分母的大小，哪个分母大，就在哪条轴上） 椭圆的焦点总在长轴上

④、、有关系式: .⑤遇到形如只要A B C同号就是椭圆方程

练习:判断下列方程是否为椭圆方程,如果是,椭圆的焦点在哪条坐标轴上①；②

不同点

标准方程

(>>0)

(>>0)





图形







焦点坐标

,

,



相同点

定义

平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点轨迹





a,b,c的关系







焦点的位置

椭圆的焦点总在长轴上



 3.例题

例题:平面内两定点的距离是8,写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程

分析:归纳例题的解题步骤,应取得以下共识:

①判定所求轨迹是椭圆；②建立适当的直角坐标系,确定椭圆标准方程的形式；

③利用已知条件求方程中待定的参数取值；④写出所求的轨迹方程.

问题:例题是用什么数学方法求轨迹方程?这种方法在什么条件下奏效?

待定系数法,当所求的方程形式能被确定,只需求其中某些参数时,才能用此方法,恰到好处.

三、作业:习题8.1 № 1,2,课堂小结

(1)椭圆的定义(注意定义中的条件)；应用较广,必须牢固掌握、高度重视.

(2)椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系.

(3) 椭圆的定义的形成和方程的推导蕴涵坐标法研究曲线；用运动变化的观点分析问题.

教学后记

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