向量及应用

温州三中 陈子月

设计立意及思路

平面向量在新教材中独立成章，日显重要，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重性”，将数和形有机地结合起来，成为中学数学知识网络的一个交汇点。因此以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题，有效沟通知识间的横向联系，促成知识网络的构建，培养学生的综合能力和数学素养。

高考考点回顾

2004年全国高考数学试题共27套，每套试题（除旧教材外）对平面向量的考查题型多数以选择题、填空题出现，解答题在2003和2004出现，分值由历年的5～12分增加到5～17分。

在高考试题中，对于平面向量的考查主要在三个方面：

1、主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。如2004年全国高考（山东、山西、河南、河北、江西、安徽卷）理科数学第3题、文科数学第3题，2004年全国高考（甘肃、贵州、青海、宁夏、新疆）理科第14题、文科第15题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题、文科第19题等；

2、考查以向量为工具，利用向量的坐标表示、线性运算和数量积等相关知识解决向量、非向量问题中所涉及的长度、角度、垂直、平行（共线）问题。如：2004年全国高考（四川、云南、吉林、黑龙江）理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题，2004年湖南理科第19题（立体几何题）可通过建立坐标系利用向量的坐标运算等知识解决，2004年广东高考第22题（解析几何题）可借助向量平行（共线）的充要条件进行求解等。

3、和其他知识整合，在知识的交汇点设计试题，与函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识结合。如2002年全国卷出现了和数列结合的题，2004年福建高考第17题，文史第17题与三角函数结合，2004年辽宁高考第6题、第19题与解析几何结合等。

基础知识梳理

1、已知＝（5，4），＝（3，2），则与2－3平行的单位向量为________;

（）

【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。关键指出与一个非零向量共线的单位向量有两个。

若非零向量和满足 |+|= |－|，则与所成角的大小________________;（2001.上海.春招.8）

【点拨】将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。

3、已知向量＝（1，2），||＝且垂直，求与的夹角。

【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关系。

通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。

例题的讲解

平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合

例1：已知平面向量。

（1）若存在实数k和t，使得向量，，且，试求函数关系式k=f(t)；

（2）根据（1）的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。

【思路导引】

①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？

②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

解：（1）∵[].（）＝0

即：

又∵

∴||=2 , ||=1 , .=0 代入上式得

－4k+t(t2-3)=0

又当t=0时，k＝0，这时＝0（不合）

∴k=(t≠0，f∈k)

∵k=，

令，得t>0或t<－1；

令，得－1因此，k=f(t)的单调增区间为（－∞，1）∪（1，＋∞） ，

单调减区为（－1，0）∪（0，1）。

【题后反思】这类问题主要考查向量的基本知识，包括向量加法、数量积的定义以及基本运算法则。以函数为背景，以向量的相关知识为依托，沟通与函数的有机联系，着重考查函数的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力。

例2：平面直角坐标系中有点P（1，cosx）,Q(cosx,1)，且x∈[] .

求向量与的夹角θ的余弦值用x表示的函数f(x)；

求θ的最值。

【思路导引】

①直接运用夹角公式得到θ的余弦值与x表示的函数f(x)之间的关系式。

②求最值有哪些方法？（均值不等式是最基本常用的方法）再思考还可以用什么方法？

解：（1）

x∈[] .

（2）

即

又

【题后反思】这类问题主要是依托平面向量的模、数量积，夹角等公式通过形和数的相互转化，实现与三角的有机整合，同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。

例3：已知平面向量且等差数列的首项为，公差为，前4项的和为，求实数t的值。

【思路导引】在数列运算中找到等量关系。

解：∵等差数列的首项a1＝＝1×2＋1×1＝3

公差d=＝|(1，1)－（2，1）|＝

∴的前4项和为S4＝4a1+=18

即＝（1，1）.（2＋t，3）＝2＋t＋3

∴2＋t＋3＝18t=13

【题后反思】 这类问题主要是运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，巧妙地将平面向量、数形等知识融合在一起，重点考查平面向量、数列的“三基”。

例4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值。

【思路导引】

利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系。

利用均值不等式求最值。

解：

∵

∴||=，||=

＝－＋ 代入上式

－3k＋3

当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2。

【题后反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

平面向量和解析几何知识的整合

由于向量与平面解析几何都具有数与形相结合的特性，因此通常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。平面向量和解析几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线、定比分点、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

例5：已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）。

求证A、B的横坐标之积为定值；

直线AB经过定点；

若OM⊥AB，求过点M的轨迹方程。

【思路导引】

利用向量数量积找到等式，再通过抛物线上点的横纵坐标关系代换统一成横坐标之间的关系，然后求值。 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/22/31/223165.htm