2005年数学第三次统测（文科）

　　一、选择题：（每小题5分） 　　1. 在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3；当时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（　 ） 　　A．3　　 B．1或9　　 C．1或　　 D．3或 　　2. 函数的部分图象大致是（　 ） 　　　　 A.　　　　　B.　　　　　　 C.　　　　　D. 　　3. 在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（　 ） 　　A．第13项　　 B．第18项　　 C．第11项　　 D．第20项　　4. 若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（　 ） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 　　5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（　 ） 　　A．　　B． 　　C． 　　D． 　　6. 已知，则下列排序正确的是（　 ） 　　A．　　　B． 　　C．　　　D． 　　7. 已知，，点C在坐标轴上，若，则这样的点C的个数为（　 ）　　A．1 　　B．2　　 C．3　　D．4 　　8. 设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（　 ）　　A．　　B．　　C．　　D． 　　二、填空题：（每小题5分） 　　9. 函数的定义域是______，递增区间是______. 　　10. 在数列中，若且对任意有则数列前项的和为______，前项和最小时的等于______. 　　11. 若，则目标函数的取值范围是______. 　　12. 向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于______. 　　13. 已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是______，它的焦点坐标是_________． 　　14. 若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数. 现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_________．

答　案

　　一、选择题：（每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

　

　

　

　

　

　

　

　



　　二、填空题：（每小题5分）

9

　

　

10

　

　



11

　

12

　



13

　

　

14

　



　　15. （本小题满分13分） 　　矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。

　　(I)求DE与平面AC所成角的正弦值； 　　(II)求二面角D-EC-B的正切值。 　　16. （本小题满分13分） 　　已知为锐角，且。 　　（1）求的值； 　　（2）求的值。 　　17. （本小题满分14分） 　　设函数是三次函数，是一次函数，，在处有极值2.　　（1）求的解析式；　　（2）求的单调区间. 　　18. （本小题满分14分） 　　已知函数. 　　（1） 求的值，使点到直线的距离最短为； 　　（2） 若不等式在恒成立，求的取值范围. 　　19. （本小题满分13分） 　　直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……, 过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……。设坐标为,（）. 　　（Ⅰ）求和的表达式； 　　（Ⅱ）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由. 　　20. （本小题满分13分） 　　已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是. 　　（1）求证； 　　（2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若∥，求的值.

答　案

　　一、选择题：（每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

D

C

C

B

C

C



　　二、填空题：（每小题5分）

9

（-∞，-3）∪（1，+∞）

（-∞，-3）

10



4或5



11

[8，14]

12





13

y=6x2-1(x≠0)



14





　　15．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC⊥平面DMN。

　　(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O， 　　∵平面AC⊥平面DMN， 　　∴DO⊥平面AC。 　　连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角 　　如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2， 　　， 　　。 　　如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=, 　　在直角三角形DOE中，，则。 　　∴DE与平面AC所成的角为。 　　(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE， 　　∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。 　　如图1，作OF⊥DC于F，则RtΔEMD∽RtΔOFD，，∴。 　　如图2，在RtΔDOM中，OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=. 　　如图1，DO=DM+MO。 　　在RtΔDFO中，， 　　∴二面角D-EC-B的大小为。 　　16. （1）∵x为锐角∴ 　　 　　 　　 　　 　　（2） 　　17．解：（1）设 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　的递增区间为，递减区间为 　　18. 解：（1）由题意得M到直线x+y-1=0的距离 　　令 　　 　　 　　解得a=3或a=-1（舍去） 　　∴a=3 　　（2）由 　　得 　　也就是 　　令 　　即at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立 　　设，则要使上述条件成立，只需 　　解得 　　即满足题意的a的取值范围是 　　19．解：（Ⅰ）由已知， 　　设，其中， 　　解（注意到）得， 　　x1=1 　　于是，； 　　； 　　；　　　　　 　　猜测　 　　 　　当时，，猜测正确，　　 　　假设当时，成立，即 　　那么，当时， 　　 　　综上所述，.　　　 　　（Ⅱ）. 　　所以，.　　　 　　20. 解：（1）A（-a，0），B（a，0），设P（x1，y1）Q（x2，y2） 　　则 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　（2） 　　由（1） 　　又P在双曲线上 　　 　　 　　同理 　　。

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