一. 选择题 （每题5分，共60分）

1．若，，则是的 （ B ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．若，则等于 （ A ）

A． B．

C． D．

3．若向量，，则与一定满足 （ C ）

A． B． C． D．与的夹角等于

4．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则这条双曲线的离心率等于 （ D ）

A． 2 B． C． D．

5．若不等式≤的解集为，则的取值范围是 （ A ）

A． B． C． D．

6．5男5女从左到右依次排成一排，要求男生从高到矮排列，女生从矮到高排列（假设男女生中身高各不相同），则不同排法种数 （ A ）

A． B．2 C． D．

7．定义在上的奇函数是周期函数，且最小正周期为，则 （ C ）

A． B． C． D．

8．若的展开式中的系数为13，则的系数为 （ C ）

A．31 B．40 C．31或40 D．不确定

9．过抛物线的焦点作两弦和，其所在直线倾斜角分别为与，则与的大小关系是 （ B ）

A．≥ B． C． D．

10．若≥，且≤，如果有最小值，则 （ B ）

A． B． C． D．≥

11．给出以下四个命题：①正四面体在桌面上的射影可能是一个正三角形；②正四面体在桌面上的射影可能是一个正方形；③球在桌面上的射影可能是一个椭圆；④球在桌面上的射影只可能是一个大圆．则其中正确命题个数是 （ C ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．一个等比数列前项和为，前项的倒数和为，则其前项之积等于 （ C ）

A． B． C． D．

二. 填空题 (每题4分，共16分)

13．样本的平均数为，样本的样本平均数为，那么样本的平均数是 ．

14．若角的终边与直线重合，且，由是终边上一点，且，则 ．

15．如图，点在所在平面外，平面，

，若在斜边上有一点，且恰为

的平分线，则与所成角的度数为 ．

16．已知函数的导数为的值也使值为，则常数 ．

三. 解答题（1721题各12分，22题14分，共74分）

17．已知向量，向量与向量的夹角为，且．

（Ⅰ）求向量；

（Ⅱ）向量，其中、是的内角，若三角形的三内角、、依次成等差数列, 且与轴垂直，试求的取值范围．

解: （Ⅰ）设, 则，且

∴解得或或，

（Ⅱ）由题意, ∵b⊥x轴, ∴,

∴b＋c＝,

∴| b＋c |2＝

∵, ∴.

18．如图，在正四棱柱中，，点、分别为，的中点，过点、、三点的平面交于点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

略解：（Ⅰ）设的中点为，连接，，证明；

（Ⅱ）作垂足为，则为所求，其正切值为．

19．已知，动点与、两点连线的斜率乘积为．

（Ⅰ）根据的取值情况，讨论点的轨迹类型；

（Ⅱ）若点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且下顶点到直线的距离为，求的值．

解：（Ⅰ）设点的坐标为，则即

∵∴动点的轨迹方程为.

当时，点的轨迹为双曲线（除去两顶点）；

当且时，点的轨迹为椭圆（除去两顶点）；

当时，点的轨迹为圆（除去两点）.

（Ⅱ）∵点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，

∴，∴， 下顶点坐标为

∵点到直线的距离为，

∴，解之得（满足）.

20．某人有甲、乙两盒火柴，使用时从任意一盒中取一根火柴．假设最初两盒中各有根火柴．

（Ⅰ）求第根火柴来自甲盒火柴的概率；

（Ⅱ）经过一段时间后，发现一盒已经用完，求这时另一盒中还有根火柴的概率．

解：（Ⅰ）一共甲、乙两盒火柴，第根火柴可以从甲、乙两盒中任意取，则第根火柴来自甲盒火柴的概率为

（Ⅱ）设{甲盒空，乙盒还剩根火柴}，{乙盒空，甲盒还剩根火柴}

事件发生，表明已经取了根火柴，且第次是从甲盒中取出的，也即在次抽取中从甲盒抽取根，其余在乙盒中取，故

由于，故所求事件概率为

法2：只有取最后一根才发现空盒，即确定最后一根来自空盒，而前面的根每一次可以从两盒中任取，且要在空盒中取得根，另一盒中则要取次，故所求事件概率为

21．已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．

（Ⅰ）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

（Ⅱ）若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

解：（Ⅰ）函数的导数，曲线在点的切线方程是，即 ①

函数的导数，曲线在点的切线方程是

，即 ②

如果直线是过和的公切线，则①、②都是的方程，所以

消去得方程若判别式时，即时解得，此时和重合.即当时和有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，和有两条公切线，设一条公切线上切点为：，其中在上，在上，则有，

线段的中点为

同理，另一条公切线段的中点也为所以两条公切线段与互相平分．

22．已知函数．

（Ⅰ）求的反函数及其定义域；

（Ⅱ）数列中，，，．设，求数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．

解: （Ⅰ）设, 则,

∴ ,

∴或. ∴所求的反函数是:

其定义域是: .

（Ⅱ）∵, ∴

又,

∴

∵,

则当时, 有,

∴

∴

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