【复习要点】

1．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径。

2．圆的方程

（1）圆的标准方程：（x－a）2+（y－b）2=R2

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2－4F>0

（3）圆的参数方程：的参数方程为

3．圆系方程：

（1）经过两圆交点的圆系方程

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0

(2)经过一直线与一圆的交点的圆系

x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

4．二元二次方程与圆的一般方程的关系：

【例 题】

例1、求过圆x2＋y2－4x＋2y＝0和x2＋y2－2y－1＝0的交点，且圆心在直线2x＋4y－1＝0上的圆的方程。

解：设所求圆的方程：x2＋y2－4x＋2y＋(x2＋y2－2y－1)=0，

则圆心坐标为()，把圆心坐标代入圆心所在直线2x＋4y－1=0，

得(=，

∴所求圆方程为：x2＋y2－3x＋y＋1=0.

例2、已知圆x2＋y2－2x－6y－6=0和x2＋y2＋4x＋8y＋3=0，求(1)以两圆圆心为直径端点的圆的方程；(2)过点(1，2)且与两圆公共弦所在直线垂直的直线方程。

解：(1)设两圆圆心分别为A、B，则A(1，3)，B(－2，－4)，AB中点(－，－)，

|AB|=，所求圆的方程为(x＋)2＋(y＋)2=.

(2)两圆方程相减得公共弦所在直线方程6x＋14y＋9=0，

故所求直线方程为(y－2)=(x－1).

另解：∵所求直线平行于两圆连心线，故斜率为.

例3、求下列条件所决定的圆的方程：

（1）已知圆过两点A（3，1），B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2=0上；

（2）经过三点A（1，－1），B（1，4），C（4，－2）.

解：（1）设所求圆心C(a,b)，∵|CA| = |CB| = r,点C在直线3x－y－2 = 0上，

所以有

解得a = 2,b = 4.r =

所求圆的方程是 (x－2)2＋(y－4)2 = 10.

（2）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F = 0，将A，B，C三点坐标代入，

整理得 解得

∴所求圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2 = 0

例4、过A（1，2），B（3，4）且与x轴相交截得弦长为6的圆，若和y轴相交，

求截得的弦长。

解：设圆的方程(x－a)2＋(y－b)2 = r2,依题意得

由此方程组解得a = 4, b =1（不合题意）或a =－6,b =11,r2 = 130.故此圆在y轴上截得弦长为.

例5、求与x轴切于点（5，0）并在y轴截取弦长为10的圆的方程（图）

解：过圆心作CMAB，垂足为M，

由平面几何知识得|AM| = |BM| =5，

再由已知|MC| = 5，|AC| = r = |b|。

在RtAMC中，

b2 = r2 = 52＋52 即b = ，

∴所求圆方程为(x－5)2＋(y)2 = 50.

例6、求圆心为（2，1），且与已知圆x2＋y2－3x = 0的公共弦所在直线过点（5，－2）的圆的方程。

解：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2 = r2

即x2＋y2－4x－2y＋5－r2 = 0 (1)

已知圆方程为x2＋y2－3x = 0 (2)

(2)－(1)得公共弦所在直线方程为x＋2y－5＋r2 = 0

又此直线过点（5，－2），∴5－4－5＋r2 = 0，∴r2 = 4

故所求圆方程为(x－2)2＋(y－1)2 = 4.

例7、已知两圆：x2+y2－2y=0、x2+y2+4x+2y+1=0；(1)求证两圆相交;(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程.

解：两圆方程相减,得公共弦所在直线方程：4x+4y+1=0. ①

设所求圆方程为x+y－2y+(4x+4y+1)=0, ②

其圆心(－2,1－2)在公共弦①上, 故4(－2)+4(1－2)+1=0,得=,代入②得所求圆方程为16x+16y+20x－12y+5=0.

例9、已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只在一个,求a的值及此圆的方程.

解：设所求圆的方程为：(x－m)+(y－n)=n,把A(0,1)、B(4,a)的坐标代入后,

得消去n,得(1－a)m－8m+(a－a+16)=0.

当a=1时,得m=2,n=此时,所求圆方程为(x－2)+(y－)=()2.

当a1时,=64－4(1－a)(a－a+16)=0,解得a=0,m=4,n=.

此时,所求圆方程为(x－4)+(y－)=().

例10、求过两点(0,0)(1,－1)且与圆(x－1)2+(y－2)2=1相切圆的方程.

解：x+y－2x=0或7x+7y－30x－16y=0

提示：由所求圆过两点(0,0)、(1,－1),可设圆方程为

x+y+Dx+(D+2)y=0, ①

又已知(x－1)+(y－2)=1, ②

①－②,得相切两圆的内公切线方程：

(D+2)x+(D+6)y－4=0, ③

圆②的圆心(1,2)到切线③距离等于半径1,可求得D=－2或D=－,代入①得解

例11、已知圆在x轴上截距为a,b,在y轴上一截距为c(c0),求此圆的方程.

解：设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F = 0,∵此圆在x轴上的截距为a,b，∴a,b是方程x2＋Dx＋F = 0的两个根，由韦达定理得D＝－(a＋b),F = ab,∵此圆在y轴上一截距为C，即过点(0,c)，∴C2＋CE＋F＝0，故E ＝∴所求圆方程为

x2＋y2－(a＋b)x－(c＋)y＋ab = 0.

例12、已知直线y=m(x－1)和圆x2+y2－y=0相交于P、Q两点，试确定m的值使|PQ|=.

解：得：(1＋m2)x2－(2m2＋m)x＋m2＋m=0.

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，∴.

∴|PQ|=|x1－x2|=，∴m=－1或m=－.

例13、设圆满足：(a)截y轴所得弦长为2；(b)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为

3∶1.在满足条件(a)，(b)的所有圆中，求圆心到直线：x－2y=0的距离最小的圆的方程。

解法一：设圆的圆心为P(a、b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为(b(，(a(.

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为r.故r2=2b2，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2＋1.从而得2b2－a2=1.

又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为d=，

所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab

(a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，

当且仅当a＝b时上式等号成立，

此时5d2＝1，从而d取得最小值。

由此有 解此方程组得或

由于r2＝2b2知r＝.

于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

解法二：同解法一得d=，

∴a－2b＝±d，得a2＝4b2±4bd＋5d2， (a)

将a＝2b2－1代入(a)式，整理得

2b2±4ab＋5d2＋1＝0， (b)

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

(＝8(5d2－1)(0，得5d2(1.

所以 5d2有最小值1，从而d有最小值.

将其代入(b)式得 2b2±4b＋2＝0.解得b＝±1.

将 b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2.由r2＝a2＋1得a＝±1.

综上，a＝±1，b＝±1，r2＝2.

由|a－2b|＝1知a，b同号。

于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.

例14、求过点A(2,－3), B(－2,－5), 且圆心在直线x－2y－3=0上的圆方程. 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/19/60/196008.htm