嫩江高级中学

所谓题型归类：就是把所给的题型纳入到同类事物的知识系统中去，它是在审题、联想的基础上，通过已知概念、定理、性质、公式、法则或熟悉的题型的再生，对当前题型进行一系列的分析、综合，揭示过去知识系统所具有知识的共同本质，以便理解当前题型的性质，从已有知识中找到解决这个题型的途径和方法。

接触到题目，首先通过观察、分析、画图进而考虑已知条件和题目结论，其次回想以前是否学过或解过类似的题目，以及它与哪些知识有关，通过对已知信息的组合、交换、改编和其他方法，把它化为已经解过的题型。

要把不熟悉的题型转化为已经解过的题型，需要经过一番由此及彼、由表及里的联想，这种联想是逐步展开的，解题者能否实现把题型进行归类，这是解题能否获得突破的重要标志。

到底如何来实现题型归类，从而使问题得到解决呢？

一、作好翻译工作，互译语义←→符号、图形信息。

例如：ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝０可翻译为“a、b、c都为零”，

反之亦然，为了叙述方便，有时可记为：

ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝０ ←→ ａ，ｂ，ｃ都为零

ａｂｃ＝０ ←→ａ，ｂ，ｃ中至少有一个为零

（ａ－ｂ）2＋（ｂ－ｃ）2＋（ｃ－ａ）2＝０

←→ａ，ｂ，ｃ，都相等

（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）＝０←→ａ，ｂ，ｃ

中至少有两个相等

一年中有31天的月份的集合←→｛1，3，5，7，8 ，10，12｝ 两个平面相交于直线 ←→α β=

平方后仍等于原数的集合←→｛0,1｝

......

又如一个棱长为a的正三棱柱，通过底面一边作一个和底面成60°角的截面，求这个截面的面积。

分析：解这道题的关键是把语义信息翻译成图形信息，把其正确的截面图形作出来。这个要求的截面的形状大致是什么？不妨在草稿上先画出来。

三个图形到底哪个截面的形状是题目所求的呢？这就需要验证了。经验证发现：这个棱长为a 的正三棱柱的上下底均是长为a的正三角形，其侧棱长也均为a，且侧棱垂直于底面。 由二面角公式知， 在图１， 图２中

tg ∠AEF ＝AE/AF<所以 ∠AEF均小于60°，与题中条件不合，而只有图３中的截面才为所求。

审题时，如果学生能把命题涉及的词义信息，正确地译成符号信息，或反过来，还能把题意转化成图形，那就意味着学生对题目的整个情境有了清晰的、明确的和具体的理解，也就有助于解题。 二、改变题目的形式

试试能否部分地改变题目的形式，包括条件和结论的改变，把它改变成另一种等位的叙述方式，并尽可能把改变了的题目同学生学过的定理或解过的题型联系起来，能否用学生熟悉的那种方法去解决。

例：解方程

(sinx+sin2x+sin3x)3 =sin3 x+sin32x+sin33x

分析：解这道题，如果一开始就用三角公式把原方程作变形，那么方程就会变得更加复杂，这样就更难找到求解的途径，在这种情况下，如果能注意到方程的代数结构：令 a=sinx b=sin2x c=sin3x

则原方程就变形为：

(a+b+c)3 =a3+b3+c3

3(a+b)(b+c)(c+a)=0

所以 sinx+sin2x=0

或 sin2x+sin3x=0

或 sin3x+sinx=0

解这三个方程即得原方程的解

三、将所给题目分成一串辅助问题

试试能否将所给题目分成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题就可以解决所给问题。

如：求一斜线与一个平面所成的角，实质就是求两条直线的夹角。

又如：设正方体的棱长为a,求这个正方体相邻两面不相交的两条对角线之间的距离。 分析：1、正方体相邻两面不相交的对角线A1B，B1C是两条异面直线，问题实质是求这两条异面直线间的距离。

2、根据异面直线公垂线的作法应把A1、B、D 连接起来，得平面A1BD B1C，且A1B 平面A1BD中，由此可知，直线B1C上任意一点（如B1点）到面A1BD的距离就等于异面直线A1B和B1C的公垂线的长，这样问题就归结为求B1点到平面A1BD的距离了。

3、连接B1D，得三棱锥B1——A1BD 如果这个求高的问题能解决，则所给题目求两异面直线间距离的问题就解决了。

以上介绍了三种有助于学生解题思路的方法，要求学生只有从具体问题的条件、结论出发，掌握一些研究问题的方法，平时多看、多想、多练、多总结、多积累，就会更有助于问题的解决。

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