知识要点：

本章主要内容有不等式的性质、不等式的证明和解不等式。 不等式的性质是解不等式和不等式证明理论依据。

不等式不仅是高中数学的重点内容，也是学习高等数学的基础和工具，不等式一直是高考的重点内容，尤其是将不等式与方程和函数有机结合，综合地考查运算能力，逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力。

一、公理

二、不等式的性质

1、反对称性：

反对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：基本不等式有及两种形式，要能灵活运用。

2、传递性：

这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

3、不等式两边同加上一个数：

4、不等式两边同乘以一个数：

5、同向不等式相加： ；

6、同向不等式相乘： ；

7、 ；

（也可由在（0，+）上是减函数得，）；

8、不等式两边同乘方： ；

9、不等式两边同开方： ；

对不等式的性质，关键是正确理解和运用，分清条件和结论之间的关系，防止出错。

三、解不等式

求不等式的解集叫做 ，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做 。一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是 不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。解不等式的每一步都要求是同解变形。

1.一元一次不等式的解法：一元一次不等式都可化为ax>b的形式，则

当a>0时, x>,

当a<0时, x<

当a=0时, (I)、若b≥0,x∈φ，(II)、若b<0,x∈R

2.一元二次不等式的解法：

⑴降次法——化为一元一次不等式组求解

⑵利用一元二次不等式的解与一元二次方程及二次函数的图象的关系求解。（见课本第一册·上 / P.19）

3．高次不等式，若可以分解成几个含x的一次因式，可用数轴标根法（图象法）来解。

具体步骤是求根、画图象、写解集。

例：解不等式

解：方程可化为，知其根为

故在数轴上标根的草图为：

因此，原不等式的解集为.

说明：高次不等式中对重根的处理分奇次重根、偶次重根两种。如或时不等式成立（若为大于零，则时不等式不成立）。

4．分式不等式

解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。

首先将不等式经过同解变形，化成或的形式，然后再利用同解变形为整式不等式求解。

不等式

不等式

例：解不等式

解：移项，通分得

∴

转化为

∴

解得，所求不等式的解集为

5．无理不等式

解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化为有理不等式。

6．指数、对数不等式的解法

解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。

指数不等式

对数不等式



 （a>0,a≠1）

当时，以上不等式同解于不等式：

；

当时，以上不等式同解于不等式：

.



（a>0,a≠1）

当时，以上不等式同解于不等式：

当时，以上不等式同解于不等式：



换元法解型不等式

换元法解型不等式



 总之, 解不等式的思路, 超越不等式 代数不等式 有理不等式整式不等式一元一次(二次)不等式(组).

7.三角不等式的解法：

最简三角不等式的解法：

①单位圆法：如：sinx>-

由单位圆可知不等式的解集为：

②图象法：如：sinx>-

由正弦曲线可知不等式的解集为：

三角不等式的解法：化为最简三角不等式来求解.

8．含绝对值不等式的解法：

解绝对值不等式关键是去绝对值，化为等价的不含绝对值的不等式（组）。

⑴ 基本型含绝对值不等式：

①.|x|当a>0时,同解于x2②.|x|>a当a<0时,x∈R

当a=0时, x∈R且x≠0

当a>0时, 同解于x2>a2a>x 或 x<-a

⑵ 解绝对值不等式的主要方法：

①.利用基本型求解，如：

②.找零分区间讨论，其步骤分为：找零点——分区间讨论去绝对值——转化为不含绝对值的不等式组求解

对含有几个绝对值符号的不等式，用零分区间讨论的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。

9．含字母系数的不等式

对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。

例：解关于x的不等式其中

解：由一元二次方程的根为知

（1）当，即时二次函数的草图为：

故原不等式的解为

（2）即时二次函数的草图为：

故原不等式的解为（）

（3），即a=1时二次函数的草图为：

故原不等式的解为

综上，当时原不等式的解集为；当时原不等式解集为；当时原不等式解集为。

注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于x的不等式，对x进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x的不等式，对除x以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。

四、不等式的证明

1．不等式证明的基本方法：

（1）比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：

①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断。

变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

它的理论依椐是

②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断。

应用范围：常用于指（对）数式的比较

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2> 0; | a | > 0; ; 等），推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/12/77/127735.htm