直线和平面所成的角与二面角（3）——面面垂直

一、课题：直线和平面所成角与二面角（3）——面面垂直

二、教学目标：1．进一步巩固二面角的概念；

2．掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．

三、教学重点、难点：两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．

四、教学过程：

（一）复习：

1．二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法；

2．求二面角的步骤：作——证——算——答；

（二）新课讲解：

1．两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平

面．

2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

已知：直线平面，平面，垂足为，求证：．

证明：如图所示，令，则，

在内过作，

∵，∴，

∴是二面角的平面角，

又∵，∴是直角，

所以，与所成的二面角是直角，即．

实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直．

3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．

已知：于点，求证：．

证明：在内过作，则由题意得是的平面角，

∵知，又∵，∴．

4．例题分析：

例1．如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的

任一点，求证：平面平面．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，

只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。

解：∵是圆的直径，∴，

又∵垂直于所在的平面，∴，

∴平面，又在平面中，

所以，平面平面．

说明：由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。

例2．已知，求证：．

证明：设，

在内取点，过作于，于点，

∵，∴，又∵，

∴，同理可得，∴．

例3．如图，平面，，若，求二面角的正弦值。

分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角。

解：过作于，过作交于，连结，

则垂直于平面，为二面角的平面角，

∴，又平面，∴，，

∴平面，∴，，

又∵，，

∴平面，∴，

设，则，

在中，，∴，

同理，中，，∴，

所以，二面角的正弦值为．

五、小结：1．面面垂直的判定和性质定理；

2．面面垂直性质和判定定理的应用．

六、作业：课本第47页习题9.7 第6、7、8题．

补充：

1．过点引三条长度相等但不共面的线段，且，，求证：平面平面．

2．如图，平面，，分别是上的点，且，

求证：是直角三角形。

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