屯溪一中 周放中

电与磁和现代生活联系非常密切，应用也很普及。在高中物理“电磁感应”一章的教学中，大纲要求学生掌握导体切割磁感线时产生感应电动势“E=BLV”是如何推导出来的，以及用表达式计算感应电动势问题。在高中《物理》第二册教材第十六章第二节作出相关解释如下：

如图1所示，把矩形线框abcd放在磁感应强度为B的匀强磁场中，线框平面与磁感线垂直。设线框可动部分ab的长度是L并以速度V向右运动，在△t时间内由原来的位置ab移到a1b1,这时线框面积的变化量△S=LV△t ，穿过闭合回路的磁通量的变化量△Φ=B△S=BLV△t，代入公式ε=△Φ/△t中得：ε=BLV。

笔者结合高中物理教学内容，对公式“ε=BLV”补充几点说明如下。

结合电场、磁场的知识理解“ε=BLV”

如图2所示，导体棒ab垂直与磁场放置，以速度V向右运动，ab间的直线距离为L，且与速度V的方向垂直，在导体棒向右运动过程中，棒内的自由电子也随之获得速度V，根据左手定则，可以判定，磁场将对电子施加向下的洛仑兹力f = Bqv作用，使电子向棒的b端聚集，从而使导体棒a、b两端产生电势差ε，在棒内形成方向从a→b的电场E，对电子施加向上的电场力F = qE 。当棒内的电子在复合场中处于平衡时，分析受力得qE=Bqv ，结合E=，可以得到：ε=BLV。

在这里，导体棒的作用相当于电源，如果将导体棒ab与外电路相连接，组成闭合电路，则在移动导体棒ab的过程中外力克服安培力做功，将其它形式的能转化为电能。根据功能关系可作如下推理：

设在图2中如果导体棒ab以速度V向右匀速运动，与外电路相连接后，设电子在向b端移动过程中形成等效电流为I，经过时间△t移动电荷电量为q，产生的电动势为ε。则在△t时间内，需要克服安培力做功为：W = F×S = BIL×V△t ,其中I×△t = q ,电荷在导体棒内移动时产生的电能△E = qε，根据功能关系有W = △E，即：BIL×V△t = qε。推理得出：

ε=BLV。

应用公式“ε=BLV”时，要注意公式的适用条件，式中要求B、L、V三个量彼此垂直，如果不垂直，则应将不垂直的量在彼此垂直的方向上投影，取它的分量进行运算。特别是“L”的取值，应为导线在切割磁感线时的有效长度。下面列举两例加以说明。

例题1：如图3所示，半径为R的半圆形导线abc垂直于匀强磁场放置，设磁感应强度为B，导线运动速度大小为V，方向与直径ac垂直。试求导线abc切割磁感线时产生感应电动势大小。

解析：在图3中，如果连接直径ac，则闭合线框abca在磁场中平移时，由于导线框内部的磁通量不变，故总电动势为零，所以在闭合回路abca中，弧线部分abc与直径ac产生的电动势大小相等，方向相反。分析直径ac在向右运动切割磁感线过程中，产生的电动势ε`=B·2R·V，推理可得，弧线部分abc在向右运动切割磁感线过程中，产生的电动势ε=2BRV。

所以，半圆形导线abc在图示情况中的有效长度应为2R。

例题2：如图4所示，导体棒ab在匀强磁场B中垂直于纸面相里运动，速度大小为V，导体棒ab的方向与磁感线之间的夹角为，设ab长为L，试求导体ab切割磁感线时产生感应电动势大小。

解析：在图3中，做辅助线bc、ac，组成直角三角形回路abc, 在匀强磁场B中垂直于纸面相里运动时，由于回路内部的磁通量不变，故总电动势为零。在三角形回路abc中,其中ac边不切割磁感线，所以a、c是等电势点，则Ucb = Uab ，分析直线cb在向内运动切割磁感线过程中，产生的电动势ε`=B·L sin·V，所以ab间的电势差也为：ε`=BLV sin 。即：导线ab在图示情况中向里切割磁感线时的有效长度应为L sin 。

类似题型在高中物理练习中经常见到，导体切割磁感线时的有效长度必须是导体在垂直与磁感线和垂直于切割速度方向上的投影长度。

导体切割磁感线时产生感应电动势，只是法拉第电磁感应现象中的一个特例，在磁场发生变化的情况下，应变换使用法拉第电磁感应定律求解。

例题：如图5所示，磁感强度为B的匀强磁场充满在半径为r的圆形区域内，方向垂直纸面向里，其大小以△B/△t的速率增加，一根长为r的金属杆ab垂直于磁场方向放在磁场区域内，杆的两端恰好在圆周上，求金属杆ab两端的电势差。

解析：设想在圆形区域内有一内接正六边形，ab是它的一条边，根据对称性，金属杆ab两端的电势差应是正六边形回路中感应电动势的。

由法拉第电磁感应定律解得：ε总 = △Φ/△t = S·△B/△t =r2·△B/△t

所以：εab = ε总 = r2·△B/△t

总之，要透彻理解一个物理公式，必须能正确分析公式的物理含义，掌握公式的适用条件，并与相关知识点建立联系，使之能真正为我所用。

2004、3、1

撰稿：周放中

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