第2讲 简易逻辑

一、命题

（一）知识归纳：

1．可以判断真假的语句叫命题。

①含有逻辑联结词，如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题称复合命题。

②复合命题的真值表：“非p”形式的复合命题与p的真假相反；“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假，其它情况时为真；“p且q“形式的复合命题当p与q同时为真时为真，其它情况时为假。

2．命题的四种形式：

①原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若 p则 q；逆否命题：若 q则 p。

②一个命题与它的逆否命题是等价的。

③ （p或q）= p且 q， （p且q）= （p或q）。

（二）学习要点：

1．复合命题真假的判断提学习上的难点，应从“真值表”、“集合”、“逆命题”等多个角度进行分析。

2．由简单命题构成复合命题，不一定是简单地加是“或、且、非”等逻辑联结词，另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题，在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”，如果不符要作语言上的调整。

3．命题的“否定”是学习上的重点，因为这是“反证法”证明的第一步，必须注意，命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是对“若p则q“形式的命题而言，同时否定它的条件与结论。

但应注意，关于命题的学习只需作一般性的了解，不必过分钻牛角尖，高考基本上没有要求。

【例1】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。

（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数.

（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,

q：方程x2－1=0的解是x=－1,

（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.

{解析}（1）p或q：9是144或225的约数；

p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；

非p：9不是144的约数.

∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q” 为真，而“非p”为假.

（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；

p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；

非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q” 均为假，而“非p”为真.

（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；

p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；

非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；

∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q” 均为假，而“非p”为真.

{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。

【例2】写出下述命题逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若a≤0，则方程x2－2x+a=0有实根.

（2）乘积为奇数的两个整数都不是偶数.

[解析] 如果一个命题不是“若p则q”的形式，则应将它写成“若p则q“的形式.

（1）逆命题：若方程x2－2x+a=0有实根，a≤0；

否命题：若a>0，则方程x2－2x+a=0无实根；

逆否命题：若方程x2－2x+a=0无实根，则a>0 .

∵方程x2－2x+a=0有实根的充要条件是△=4－4a≥0，即a≤1，而a≤0 a≤1，

∴原命题与逆否命题为真命题；

∵方程x2－2x+a=0有实根 a≤1，而a≤1a≤0；∴逆命题与否命题为假命题.

（2）原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数；

逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数；

否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；

逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数.

上述四种形式的命题都是真命题.

[评析] 学习命题的四种形式的难点是写出命题的否命题，需要同时否定命题的条件与结论，但对一些特殊的词句的否定需要积累经验，如上面第（2）小题中对“都不”的否定，许多学生都误认为是“不都”，这是错误的，“不都”是对“都”的否定。

二、反证法：

（一）知识归纳：

1．用反证法证明命题的一般步骤如下：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：

①结论本身以否定形式出现；

②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；

③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；

④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.

（二）学习要点：

1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：

原结论词

大于（>）

小于（<）

都是

都不是

至少n个

至多n个



反设词

不大于（≤）

不小于（≥）

不都是

至少有一个是

至多n－1个

至少n+1个





原结论词

有无穷多个

存在唯一的

对任意p，使…恒成立



反设词

只有有限多个

不存在或至少存在两个

至少有一个p，使…不成立





2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：

①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；

②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；

③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.

但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.

【例】用反证法证明下述命题：

（Ⅰ）某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月. 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/18/84/188495.htm