教学目标

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

重点难点

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

教学过程

(首先提出问题，同学们展开讨论，进行探讨，总结．)

可以提出以下问题：

1．什么是函数的图象？为什么要研究函数的图象？

2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

4．请你归纳一下，我们学过哪些图象变换？与它们相对应的函数表达式的变换是什么？

5．函数的图象与函数的其它知识之间有什么内在联系？与方程的曲线有什么内在联系？

6．怎样利用函数的图象分析、解决数学问题？

(其次，通过学生对例题解法的探讨和分析，掌握知识之间联系，用数学思想分析、解决问题，培养独立思考品质和观察、分析、归纳、综合能力．)

一、作函数图象的一个基本方法——描点法

例1　 作出下列函数的图象：

分析　 先对四个函数性质进行研究，即研究定义域、值域、奇偶性、单调性，这样对要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势有大概认识．

既非奇函数又非偶函数，在［0，+∞)上是增函数．

由此只要在［0，+∞)上选x的取值列表描点．

是偶函数，在［0，＋∞)上是增函数．

由此只要在［0，＋∞)上选x的取值、列表描点，再由偶函数的特征(关于y轴对称)得到所要的图象．

(3)函数y=x-3定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域是(-∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(0，+∞)上是减函数．

由此只要在(0，+∞)上选x的取值、列表描点，再由奇函数的特征(关于原点对称)得到所要的图象．

图3即为y=x-3的图象．

数又非偶函数，在(0，+∞)是减函数．

评述　 例1既复习了幂函数的图象又掌握了列表描点前避免盲目列表计算的方法．对已经研究过的基本初等函数，由于已经掌握了其图象的大致轮廓，我们只要找出几个关键的点，就可以迅速得到其图象．

分析　 处理函数问题首先要考虑定义域．用函数单调性、奇偶性定义判断函数的单调性、奇偶性是研究函数性质的重要方法．根据本题解

均值定理更为简捷．由第(1)题已经了解到f(x)的变化范围、变化趋势，图象的大致特征，在此基础上可列表描点作图．

解　 (1)f(x)的定义域为：x∈R．

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

当x1＜x2≤-1时，x1x2＞1，所以f(x2)-f(x1)＜0；

当-1＜x1＜x2＜1时，|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，即-1＜x1x2＜1，这样f(x2)-f(x1)＞0；

当1≤x1＜x2时，x1x2＞1，所以f(x2)-f(x1)＜0．

减函数，在区间(-1，1)上是增函数．

可知，当x=-1时，f(x)取最小值-1；当x=1时，f(x)取最大值1．

当x＞0时，f(x)＞0，此时图象位于第一象限，且x∈［0，1)是增函数，x∈［1，+∞)是减函数，当x=1时，f(x)取最大值1．当x=0，f(x)=0，图象过原点．

x轴为图象的渐近线．

根据以上分析，只要在［0，+∞)选x的取值列表描点即可．图5

评述　 作图象前除分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，还可以进一步分析与x轴、y轴交点情况，是否有渐近线等，可以更准确绘出图象．

例3　 作出下列函数的图象

(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．

分析　 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解

(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)

(2)当x≥1时，lgx≥0，

y=10|lgx|=10lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)

评述　 作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数，反比例函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，及三角函数，反三角函数的图象．

解　 由x2-3|x|+2≥0得

故已知函数为

又①等价于

又②等价于

其图象见图8．

评述　 高三复习函数图象时应有机地把函数的图象与方程的曲线联系起来．如本例的函数图象是双曲线的一部分弧．

在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．

二、作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．

一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．

在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．

(1)平移变换

函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；

函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．

(2)伸缩变换

函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．

函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上

而得到．

(3)对称变换

函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．

函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．

函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到． 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/14/43/144327.htm