二次函数形式简单、应用广泛，是研究二次三项式、二次方程、二次不等式问题的基础。学习二次函数时，首先要注意其代数形式的变化，其次要注意函数图象的特点：顶点、对称轴、开口方向、与y轴的交点以及单调性等，综合运应其它知识解决问题，本专题通过对大量的例题（多数是近年来的高考试题或高考模拟题）的分析，重点阐述二次函数解析式的确定、二次函数在某一区间上的最值、二次方程实根的分布、二次三项式的系数特征、二次不等式恒成立等问题，使同学们从深层次更加开拓视野，丰富解题的思路，逐步掌握怎样观察问题、分析问题和解决问题的方法、提高综合解题的能力。为进一步地学习其它科学知识打好基础。

问题1：二次函数解析式的确定

二次函数的标准形式是((x)=ax2+bx+c(a(0)，另外有顶点式((x)=a(x(k)2+h和根轴式((x)=a(x(x1)

(x(x2)，根据问题的实际情景而设出解析式，通过方程（组）求解。其最一般的方法是待定系数法。

例1、已知抛物线y=ax2+bx(1的对称轴是x= (1，其最高点在直线y=2x+4上，求抛物线的方程。

例2、已知抛物线y=x2(2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标分别是A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1 （1）求这条抛物线的解析式；

（2）设所求抛物线顶点为C，P是此抛物线上一点，且(PAC=900，求点P的坐标。

练习：1、抛物线y=ax2(2x+c的图象的最低点的纵坐标是(2，它与直线y=2x的两个交点的横坐标之差的绝对值为2，求a与c。

2、已知二次函数的图象与x轴交于两点A((2，0)、B(3，0)，且函数有最大值2。

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数图象的顶点为P，求(ABP的面积。

3、已知二次函数y=x2(kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴正半轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），若点A，B的横坐标是整数。

（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；

（2）若点D的坐标是(0，6)，点P(t，0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合，设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）若点A与点P重合，得到四边形ABCD，以ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形的高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（只作图即可）。

4、已知二次函数((x)=ax2+bx+c (a(0)当x=时，取得极值25，又((x)=0有两个实根，且这两个实根的立方和为19，求((x)。

问题2：二次函数在某一区间上的最值

二次函数在某一闭区间上的最值，一般是在区间的端点或顶点处取得。因此判断顶点与各端点的位置关系，是解决问题的关健。

例3、已知函数((x)=x2(2x+2，x([t，t+1]的最小值是g(t)，试写出函数g(t)的解析式；若在此区间上的最大值是h(t)，试写出h(t)的解析式，并求出h(t)中的最大值或最小值。

练习：1、求函数((x)= (x2+4x（1(x<4）的值域。

2、已知函数((x)= (x2+ax(+在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值。

3、已知函数((x)=ax2+(2a(1)x(3(a(0)在区间上的最大值为1，求实数a的值。

问题3：二次方程实根的分布

二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a─开口方向，a、b—对称轴，c—图象与y轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。

例4、已知关于x的方程x2+(a+1)x+2a=0，分别在下列条件下，求实数a的取值范围。

（1）有一个根小于(1，有一个根大于1；

（2）两根均在（(1，1）内。

例5、已知关于x的方程kx2(4kx+1=0的两个正根(、(满足：|lg((lg(|(1，试求实数k的取值范围。

例6、关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0的两实根(、(，请证明：

（1）如果|(|<2，|(|<2，那么2|(|<4+b，且|b|<4；

（2）如果2|a|<4+b，且|b|<4，那么|(|<2，|(|<2。

例7、设二次函数((x)=ax2+bx+c（a>0），方程((x)(x=0的两根x1，x2满足0（1）当x((0，x1)时，证明x<((x)（2）设函数((x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0<。

练习：1、已知二次函数((x)=x2+x+a（a>0）满足((m)<0，试判断((m+1)的符号。

2、设x1、x2分别为关于x的二次方程ax2+bx+c=0和(ax2+bx+c=0的一个非零实根，且x1(x2，求证方程x2+bx+c=0必有一个根在x1与x2之间。

3、设集合A={(x，y)|y=x2+mx+2}，集合B={(x，y)|x(y+1=0且0(x(2}，若A(B((，求实数m的取值范围。

4、若抛物线y=x2+ax+2与连接两点M(0，1)，N(2，3)的线段（含端点）有两个相异交点，求a的取值范围。

5、若二次函数((x)=4x2(2(p(2)x(2p2(p+1在区间[(1，1]内至少存在一点C，使((c)>0，求实数p的取值范围。

问题4：二次三项式的系数特征

例8、已知a、b、c是实数，函数((x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当(1(x(1时，|((x)|(1，证明：

（1）|c|(1；

（2）当(1(x(1时，|g(x)|(2；

（3）设a>0，当(1(x(1时，g(x)的最大值是2，求((x)。

例9、实系数多项式p(x)=ax2+bx+c(a(0，b(0)，当|x|(1时，|p(x)|(1，令q(x)=cx2+bx+a，试证明当|x|(1时，|q(x)|(2。

例10、已知二次函数((x)=ax2+bx+c(a(0)，当(1(x(1时，有|((x)|(1，求证当(2(x(2时，|((x)|(7。

练习：1、已知二次函数((x)=ax2+bx+c(a(0)的图象与直线y=25有公共点，且二次不等式ax2+bx+c>0的解集是，求实数a、b、c的取值范围。

2、已知二次函数((x)=ax2+bx+c满足|(((1)|(1，|((0)|(1，|((1)|(1，求证：当|x|(1时，|((x)|(。

3、试证明不存在满足下列条件的二次三项式：

（1）当(1(x(1时，|((x)(1；

（2）|((2)|>8。

4、设二次三项式ax2+bx+c在区间[0，1]上的值的绝对值均不超过1，试求|a|+|b|+|c|的最大值。

5、若关于x的不等式x2(ax(6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的值。

6、已知二次函数((x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= (bx，其中a>b>c，a+b+c=0，(a、b、c(R)

（1）求证：两图象交于不同的两点A、B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围。

7、设((x)=lg，其中a(R，n是任意给定的自然数，且n(2。

（1）当x(1时，如果((x)有意义，求a的取值范围；

（2）当0问题5：二次不等式恒成立问题 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/13/54/135444.htm