当a1时，ax >x成立吗？

（一）问题提出

现行教材和相关参考书中，画a>1时，y= ax 与其反函数 y=logax 的图象时，两个图象及其对称轴y=x都没有焦点有些参考书把不等式x> logax作为条件列入题目，因而有些同学就据此提出：当a>1时是否有ax >x> logax成立的问题。该不等式之核心是ax >x …… （1）。 在思考过程中，同学们找到若y=cx 与 y=x有交点(a,a) 即ca=a则c= 即以 形的数为底的指数函数y= 图象与y=x图象有公共点(a,a) ，因而说明不等式⑴不总成立。

（二）问题及研究

不等式（1）是否成立的问题转化为指数函数底为何值时其图象与y=x图象相交、相切、相离的问题。

有幂函数知识有：若a>b>1时，对同一x值

当x> 0时，有ax>bx

当x<0时，有ax故指数函数有如下性质成立：

1）当a>1时，图象y= ax，a越大越“紧抱”y轴，a越小越“紧抱”直线y =1轴

2）所有指数函数只在点（0，1）处相交，且任意两个指数函数图象无其它公共点。

随底越来越大，指数函数图象在“紧抱”y轴的过程中，会与y=x图象相离，随底越来越小，指数函数图象在“紧抱”y=1轴的过程中，会与y=x图象相交，当然在变化过程中也一定会有一个指数函数图象，与y=x图象相切。故问题关键是找到底数为什么值时y= ax 图象与y=x图象相切。

下面我们求相切时a的值及切点

我们知道方程 ax = x……（2）的解是相切时切点的横坐标。（切点的纵坐标与横坐标相等）

对（2）求导得axlna=1……（3）

（2）、（3）联立求得切点横坐标x=logae…… （4）

把（4）代入（2）得logae= 即e= logae 所以ae=e

从而得到相切时底a= ，结合（4）有此时切点为（e，e）。

（三）所得结论

结合上列指数函数的两个性质有下面结论成立

1）当a∈（，+∞），时,y= ax图象与y=x图象相离，无交点，即此时ax > x成立。

2）当a= 时，y= ax 图象与y=x图象相切，（只有一个切点），切点为（e，e）

3）当a∈(1, )时，y= ax图象与y=x 图象有两个交点。在直线y=x上看这两个点应在点（e，e）之两侧。

有指数函数图象可知：

4）当a∈ (0,1)时，y= ax与y=x图象有一个交点（不是切点）在直线y =x上看这个交点应在点（0，0）与（1，1）之间。

（四）进一步思考

由（一）中所得y= 图象与y=x 图象有交点（a，a）和(二)中所列指数函数“紧抱”之性质及(三)中结论(2)应有：函数y= 当x=e时取得最大值，即该函数y= …… （5）,(x>0)

当x∈(0,e)时是增函数，当x∈(e, +∞)时减函数

下面证明上述结论

对式子y= 取对数变形为lny=lnx……（6）

式子（6）对x求导有：=即y’= (1-lnx)

因为：x >0，所以 >0，x2>0

因而当1-lnx>0即x∈ (0,e)时，y’>0，此时（5）是增函数

当1-lnx<0即x∈(e, +∞)时，y’<0，此时（5）是减函数

因而当x=e时取最大值为

又因为当x>1时， >1，所以有=1

即y=1是（5）的渐近线

该函数图象是

我们比较ab与ba大小，可用上面结果。

若a>b>e，因为0< <

因为ab>0，所以ab同理当e>a>b时有ab>ba

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