广州市七十五中学 卢云凌 邮编 510500

数学符号的教学在数学教学中占有重要的地位。由于数学符号的抽象性，因此学生是望而却步，畏惧三分，从而影响了学生学习数学的积极性。例如高一学生虽然在初中巳接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“”不甚了解，特别是解只与函数符号有关的一类题时，更是丈二金刚——摸不着头脑。如果教师在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真，学生就会由怕见到函数符号变成乐意见到函数符号，进而理解和掌握函数符号，对学生的审美素质和数学素质的提高将起到良好的促进作用。

函数符号的社会美

函数符号和其它的数学符号一样都是在生产实践中产生发展的。生产实践和大量数学理论都涉及两个相关量，这导致函数概念的产生。函数概念经历了有趣的变化。运用集合论的观点得出的函数概念，在数学史上是一个里程碑。函数符号凝聚了多少数学家的思想、感情、聪明和智慧，数学家们富有创造性的劳动创造了美的函数符号。教师如能在恰当时间介绍与函数符号有关名人轶事，学生们将会对函数符号产生一种崇敬之情和亲切感，从而缩短与符号之间的距离，并激励自己去努力去学习它。

函数符号的美不仅仅表现在社会美上，它还表现在多方面的数学美上。

函数符号的抽象美

数学理论最基本的特点就是高度的抽象性。所谓抽象，就是舍弃具体对象的一些特征，而概括其一些公共的性质。这样得到的结果就是一个概念。数学概念是客观事物的量的关系和空间形式的高度抽象和概括，因而更具有广泛性。函数符号是表示现实世界中一切具有函数关系的一种记号，虽然抽象，却神通广大，利用它能够得到函数的通性。“”，就这么简单，简单就美。

例1（1）设函数的定义域是[1，2]，求的定义域；

（2）设函数的定义域是[1，2]，求的定义域。

分析 问题（1）中应有，故函数的定义域为，学生不难理解。对（2）中却有一部分学生误认为[1，2]就是函数的定义域，而不知的值域才是函数的定义域。正确解答是，的定义域为。

函数符号最抽象的因素是自变量，问题（1）与（2）仅仅是与的细微变化，但问题的本质却发生根本性的改变，这就是自变量抽象性的魅力所在。

在教学中如果让学生学会从一些特殊问题中抽象出一般结果来，那么学生创造美的能力将会逐步得到提高。看下面一个例子：

例2 巳知函数定义在实数集上，且对一切实数都满足 和，试求函数 的一个周期。

分析 由知的图象关于直线对称，由 知的图象关于直线对称，凭直觉函数的一个周期为 =6。现验证：∵函数的图象关于直线对称，∴=，∵函数的图象关于直线对称，∴=。又∵ = ==，∴函数为周期函数且是函数 的一个周期。通过这个特殊例子完全可以推广为下面的定理：

定理 函数定义域为R，它的图象关于直线对称，且又关于直线对称，那么函数为周期函数，是函数 的一个周期。

３ 函数符号的对称美

对称美是学生容易理解和接受的一种数学美。函数符号在表现函数及函数图象的对称性上真是发挥得淋漓尽致。对称美不仅仅是表现在图形的对称上，它还表现在用对称的眼光去分析问题和解决问题。

例3 设是R上一个巳知函数，求证：一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

证明 设满足要求的奇函数为偶函数为， ①

且，,故 ②

①-②可得：，①+②可得：

经验证，求得的函数、的确实分别为奇函数与偶函数，故得证。

命题中的一奇一偶的和，证明中的①-②、①+②，和的表达式里的一减一加，这不是偶然的巧合，它蕴含了一种深层次的对称美。对称还可以是一种方法、思想。

4 函数符号的统一美

仅通过函数符号就可以严谨的、系统的研究函数的各种性质和问题，例如函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、图象变换等等。函数符号为我们提供了欣赏数学统一美的绝好机会。教师要精选一些有代表性的例题和习题给学生分析和练习，使学生从中受到启发。

例4 函数对一切实数都满足并且=0有三个实根，求这三个实根之和。

分析 由知直线是函数图象的对称轴。又因为=0有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根、关于对称，即+=22=4，故++=6。

根据对称性轻而易举地求出结果，何乐而不为。

例5 巳知函数是偶函数，且在上是减函数，求是增函数的区间是。

分析 这是研究复合函数的单调性，可将解题思路表格化。

定义域







增区间

增区间

减区间

减区间





增区间

减区间

减区间

增区间





增区间

减区间

增区间

减区间



 故函数的增区间不。

将定义域怎样分段，将复合函数怎样复合以及判断函数的单调性至关重要，判断函数增减性可是一件愉快的事。用表格形式解题醒目、美观、易操作。

5 函数符号的相似美

数学中有很多的内容和形式之间存在着大量的相近和类似的现象，即相似因素。其中有命题的相似，规律和方法的相似，图形和式子的相似等等。由于存在着相似因素，因此在研究新的问题时，在以前积累的知识和方法基础上发挥想象、猜想，通过归纳、类比，从而发现新的知识和规律。

例6 （1）若对任意实数总有…①成立，求证；。

（2）定义在实数R上的函数，且满足…②，当时，，若，求的取值范围．

分析 （1）和（2）要解决的问题虽然不同，但巳知条件中却存在着相近的式子①和②，解题过程中应该也有相似的方法，事实上它们都是从取特殊值或变量替代开始的。

证明（1） 令，代①有。又令代①有 ,即：，

解（2） 令代②有，又令代②有，知时是奇函数。设，且，,。 =>0，故在R上是减函数 +-3，则原不等式化为：，- 若…③必有：- 5…④，由③、④得；若或。经检验只有。故。

函数符号的奇异美

一个简单的函数符号能够引出那么的问题；解决与抽象的函数符号有关问题时有时致胜的一招却是取特殊值；有时变换一个角度看函数符号问题时，看到的风景会更精彩。这就是函数符号的奇异美。 本文文档版下载：http://www.k12zy.com/21/34/213478.htm